linear-programming



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連立不等式\ $x\geqq0,\ y\geqq0,\ 2x+y\leqq10,\ x+3y\leqq10\ を満たすx,\ yに$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}対し,\ $x+y\ の最大値,\ 最小値を求めよ.$ \\ 線形計画法(連立不等式と2変数関数の最大・最小)}}}} \\\\[.5zh] 連立不等式の表す領域$\bm{D}$を図示する.}} \\[.2zh]  $[2]$\ \textbf{\textcolor{cyan}{求値式を\ $\bm{=k}$\ とおくと,\ 図形的には直線を表す.}} \\[.2zh]  $[3]$\ \textbf{\textcolor{red}{この直線が領域$\bm{D}$と共有点をもつような$\bm{k}$の最大・最小を求める.}} \\\\  条件を満たす領域$D$は,\ 上図の塗りつぶし部分である.\ 境界線を含む. \\[1zh]  \maru1は,\ $\textcolor{cyan}{傾き-1,\ y切片kの直線}である.$ \\[1zh]  \textcolor{red}{直線\maru1が領域$D$と共有点をもつような$k$の値の範囲}を求める. \\[1zh]  $y切片k$は,\ \textcolor{cyan}{点(4,\ 2)を通るとき,\ 最大}となる. \\[.2zh]  $y切片k$は,\ \textcolor{cyan}{点(0,\ 0)を通るとき,\ 最小}となる. \\[.2zh] 本問に限らず,\ \bm{連立不等式が条件の問題は,\ まず領域を図示してみる}とよい. \\ として,\ 領域を図示する. \\[1zh] y=-x+kは,\ \bm{傾きが-1で固定で,\ y切片kが変化する直線}である. \\ 傾き-1のままy切片を変化させ,\ 領域Dと共有点をもつような範囲を考える. \\ このとき,\ \bm{領域を作る直線の傾きとy=-x+kの傾き-1の関係}が重要になる. \\ 点(4,\ 2)を通る2本の直線の傾きは,\ -2と-\bunsuu13である. \\ り,\ y切片kが最大となるのは,\ 点(4,\ 2)を通るときとわかる. \\ y切片kが最小となるのが(0,\ 0)を通るときなのは明らかであろう. \\[1zh] =kとおく理由を理解するには,\ \bm{逆像法}という高度な考え方を要する. \\ 詳しく説明すると長くなるので,\ ここでは,\ 簡潔な説明にとどめておく. \\[1zh] \bm{条件を満たすx,\ yが存在して初めて,\ それに対応するkが求まる.} \\ 逆に言えば,\ \bm{求めるkには対応するx,\ yが存在していなければならない.} \\ \bm{「条件を満たすx,\ yが存在する」は,\ 図形的には「共有点が存在する」}である. \\ 領域Dと共有点をもたなければ,\ 条件を満たすx,\ yが存在しないことになる. \\ そのようなkは最大・最小にはなり得ない. \\ 結局,\ \bm{領域Dと共有点をもつようなkの範囲を考えることに帰着する}のである.