積分方程式①(定数型)、連立積分方程式

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$f(x)=x+∫{0}{2}f(t)\,dt\ を満たす関数f(x)を求めよ.$ (2)\ \ $f(x)=2x+∫{0}{1}(x+t)f(t)\,dt\ を満たす関数f(x)を求めよ.$ \\ {積分方程式①(定数型) \\  $f(x)$に関する定積分を含む等式を満たす$f(x)$を求めることを積分方程式を解くという.  積分方程式には,\ 積分区間に変数$x}$を含むか否かで2パターンに分類される.  本項では,\ 積分区間に変数$x$を含まない定数型を取り上げる.  $f(t)が何でも,\ 積分区間の両端が定数なので∫{a}{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)は定数である.$  そこで,\ 一旦$∫{a}{b}f(t)\,dt=k\ (定数)$\ として,\ 方程式を解くことになる. 定積分∫{0}{2}f(t)\,dtを文字定数kで置換した後,\ そのkについて計算する.} kについての等式が導かれるので,\ それを解くとkの値が求められる. この解法は覚えておかなければ気付かないだろう.\ 逆に,\ 解法暗記できていればサービス問題である ∫{0}{1}(x+t)f(t)\,dt\ は,\ 変数xを含むので定数になるとは限らない.} よって,\ そのままでは文字定数で置換することはできない. そこで,\ 一旦展開して変数xを定積分の前に出す.} tについての定積分であるから,\ その中ではxは定数扱い}となり,\ 前に出せるわけである. 2つの異なる定積分ができるので,\ それぞれを文字定数で置換する. (1)と同様にその文字について計算すると,\ 連立できる. 等式が2つあるが,\ 根幹は同じである.\ 定積分を文字定数でおいてそれぞれを計算していけばよい.