integral-equation-constant

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f(x)=x+\dint{0}{2}f(t)\,dt\ を満たす関数f(x)を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $f(x)=2x+\dint{0}{1}(x+t)f(t)\,dt\ を満たす関数f(x)を求めよ.$ \\  \textbf{\textcolor{magenta}{「積分区間が定数から定数」}}が本問の特徴である. \\  よって,\ $f(t)がどんな関数であれ,\ \bm{\textcolor{cyan}{\dint{0}{2}f(t)\,dt\ は必ず定数}}になる.$ \\  そこで,\ $\bm{\textcolor{red}{\dint{0}{2}f(t)\,dt=A\ (定数)}}$\ として,\ 方程式を解く. \\\\\\   f(x)を求めたいが,\ その求めたいf(x)がf(x)自身を用いて表されている. \\ ここで,\ x=2x+2という式を考えてみよう.\ 単なるxの方程式である. \\ これは見方を変えると,\ 求めたいxがxの式で表されている. \\ よって,\ 本問は\bm{f(x)の方程式}なのである.\ これを\bm{積分方程式}という. \\[1zh] 実際には,\ \bm{定積分を文字定数で置換した後,\ その文字について計算していけばよい.} \bm{\dint{0}{1}(x+t)f(t)\,dt\ は,\ 変数xを含むから,\ 定数にはならない.} \\ よって,\ そのままでは文字定数で置換することはできない. \\ そこで,\ 一旦\bm{展開してxを定積分の前に出す.} \\ \bm{tについての積分であるから,\ その中ではxは定数扱い}となり,\ 前に出せる. \\[1zh] 後は2つの定積分をそれぞれ文字定数で置換し,\ それを計算して連立すればよい. 連立積分方程式}}}} \\\\[.5zh] \centerline{{\normalsize $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 根幹は同じである.\ 定積分を文字定数でおいてそれぞれを計算していけばよい.