sequence-function

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次を満たす整式f_n(x)を求めよ.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$f_1(x)=2x+1,\ \ f_{n+1}(x)=x^2+x\dint{0}{1}f_{n}(t)\,dt (n=1,\ 2,\ \cdots)$ \\ \bm{関数の列}\ f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots,\ f_n(x)\ が定積分を含む漸化式で定義されている. \\ f_1(x)が与えられれば,\ 漸化式からf_2(x)が定まる.\ 同様にf_n(x)が定まっていく. \\[1zh] \bm{\dint{0}{1}f_n(t)\,dt\ は,\ 「積分区間が定数から定数」なので,\ 定数になる.} \\ よって,\ 文字定数でおくことができる. \\ ただし,\ \bm{f_n(x)はnによって式が異なるから,\ 定積分の値も異なる.} \\ 例えば,\ 本問の場合,\ 次のように変化していくと予想できる. \\ この場合,\ f_n(x)に対応して変化することを見越し,\ \bm{\dint{0}{1}f_n(t)\,dt=a_n}\ とおく. \\ 後は,\ \bm{a_{n+1}を計算}していくと,\ \bm{特殊解型の2項間漸化式}に帰着する. \\[1zh] 漸化式を解いてa_nが求まれば,\ f_{n+1}(x)が定まるので,\ f_n(x)に変換する. \\ \bm{n\ →\ n-1}\ とすればよいが,\ このとき\ \bm{n\geqq2\ となる}ことに注意する. \\ f_1(x)に対して適用すると,\ f_0(x)となってしまい,\ n\geqq1に矛盾するからである. \\[1zh] n=1の場合とn\geqq2の場合をまとめることができないかを考える. \\ n\geqq2の式に,\ 試しにn=1を代入してみると,\ f_1(x)=x^2+\bunsuu{10}{3}x\ となる. \\ これは問題のf_1(x)=2x+1と一致しない. \\ よってまとめることはできず,\ n=1とn\geqq2の場合を分けて答えることになる.