折れ線の長さの最小値

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2点A(1,\ 6),\ B(5,\ 3)がある.\ 点Pが直線\ $y=-\,x+5$\ 上を動くとき, $AP+PB}$の最小 値と,\ そのときの点Pの座標を求めよ. \\ 折れ線の長さの最小値 \\  点Pの座標を文字で設定し,\ $AP+PB}$を計算して最小値を求めるのはあまりに大変である.  折れ線の長さの最小値を求める場合,\ 図形的に考えるのが基本となる.  1点を直線に関して対称移動すると,\ 直線で結んだときが最小となる.   直線\ $y=-\,x+5$\ に関して,\ 点Aと点Bは同じ側にある.   直線\ $y=-\,x+5$\ に関して,\ 点Bと対称な点をC$(a,\ b)$}とする.   線分BCの中点の座標は    中点が直線$y=-\,x+5$上にある}から    直線BCの傾きは 直線BCは直線$y=-\,x+5$と垂直}であるから   整理すると    ここで $AP+PB=AP+PC≧ AC$   3点A,\ P,\ Cが一直線上に並ぶとき,\ 等号が成立する   直線ACの方程式は    これと直線\ $y=-\,x+5$\ との交点は  まず,\ 点A,\ B}が直線\ y=-x+5\ に関して同じ側にあることを確認する. 今回は,\ 点B}を直線\ y=-x+5\ に関して対称移動した.\ もちろん,\ 点A}を対称移動してもよい. 線分BC}の中点をM}とし,\ △ PBMと△ PCMについて考える.} BM=CM,\ PMは共通,\ ∠ PMB=∠ PMC=90°}より,\ 2辺とその間の角が等しい. よって,\ △ PBMと△ PCM}は合同}であり,\ PB=PCとなる. ゆえに,\ AP+PB=AP+PC}となり,\ AP+PC}の最小値に帰着}する. 当然,\ 点Aから点Cまでを直線で結ぶとき,\ ACが最小になる. 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)間の距離の公式\ √{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\,でAC}の長さを求める. また,\ 2直線の交点}として点P}の座標を求められる.