collineation-concurrent2

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3直線\ $x-2y=1,\ 2x+3y=1,\ ax+by=1$\ が1点で交わるとき, \\[.2zh] \hspace{.5zw}3点\ $(1,\ -2),\ (2,\ 3),\ (a,\ b)$\ が同一直線上にあることを示せ. \\  3直線の交点を$\textcolor{cyan}{(p,\ q)}$とおく. \\[.2zh]  3直線は原点を通らないから,\ $\textcolor{cyan}{p\neqq0\ \ または\ \ q\neqq0}$\ である.       \textbf{$\bm{直線\ px+qy=1}$\ 上にあることを意味している.} \bm{点(p,\ q)が直線ax+by+c=0上にある}とき,\ \bm{ap+bq+c=0}\ が成立する. \\ ここで,\ ap+bq+c=0\ という式の意味を異なる視点からとらえよう. \\ この式は,\ \bm{px+qy+c=0\ に\ (x,\ y)=(a,\ b)\ を代入しても得られる.} \\ よって,\ \bm{直線px+qy+c=0上に点(a,\ b)があるとみなせる}のである. \\ 結局,\ 次のような関係が成立する. \\ このことをうまく利用すると,\ 上のような解が可能になるのである. \\[1zh] まず,\ \bm{交点を(p,\ q)とおく.} \\ どの直線も(0,\ 0)を代入すると成立しないから,\ p=q=0ではない. \\ 後のpx+qy=1は,\ p=q=0のとき意味を持たないので先に確認しておいた. \\ 3直線はこの交点を通るから,\ \bm{3直線の方程式に(p,\ q)を代入した式が成立}する. \\ すなわち,\ \bm{p-2q=1,\ 2p+3q=1,\ ap+bq=1}\ が成立する. \\ ここで,\ \bm{px+qy=1}\ という直線の方程式を考える. \\ これは,\ \bm{3点の全てが,\ 直線px+qy=1上にあることを意味する.} \\[1zh] 結局,\ 上の解答は,\ 次の同値関係を利用している. \\ 1点で交わるようa,\ bを定めてから一直線上にあることを示すことも当然できる. \\ しかし,\ 後の応用性を考えると,\ 是非この解法を習得してほしい.