at-least-all

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a+b+c=1,\ \ ab+bc+ca=abc\ \ のとき,\ 実数a,\ b,\ cのうち少な$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $くとも1つは1に等しいことを証明せよ.$ \ \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $も2つは等しくなることを示せ.$a,\ b,\ cの少なくとも1つは1に等しい.}$} \bm{何を示せば少なくとも1つが1に等しいことを示したことになるか}を考える. \\ 目指すべき目標(結論)を先に考えておくわけである. \\[1zh] 「a,\ b,\ cの少なくとも1つが1に等しい」を言い換えると,\ 次のようになる. \\ \bm{「a=1\ \ または\ \ b=1\ \ または\ \ c=1」}   これをさらに言い換える. \\ \bm{「a-1=0\ \ または\ \ b-1=0\ \ または\ \ c-1=0」} \\[1zh] 一般に,\ 条件「A=0\ または\ B=0\ または\ C=0」は,\ \bm{積の形}で簡潔に表せる. \\ つまり,\ \bm{「A=0\ \ または\ \ B=0\ \ または\ \ C=0\ \Longleftrightarrow\ ABC=0」}である. \\ 結局,\ 本問の場合,\ \bm{(a-1)(b-1)(c-1)=0\ を示す}ことが目標になる. \\[1zh] こうして,\ \bm{日本語「少なくとも1つは1に等しい」を数式に変換できる.} \\ 後は\bm{等式の証明}であるから,\ \bm{複雑な左辺を変形}して0になることを示せばよい. 次のように問題の日本語を数式で表現しておき,\ それの証明を目指す. \\ \phantom{\Longleftrightarrow}\ \ 「x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しい」 \\ \Longleftrightarrow\ 「x=y\ \ または\ \ y=z\ \ または\ \ z=x」 \\ \Longleftrightarrow\ 「x-y=0\ \ または\ \ y-z=0\ \ または\ \ z-x=0」 \\ \Longleftrightarrow\ 「\bm{(x-y)(y-z)(z-x)=0}」 \\[1zh] 本問のように,\ 問題の条件自体が複雑な場合,\ 先に\bm{同値変形}により簡単にする. \\ まず,\ 両辺にxyzを掛けて分母をはらい,\ すべての項を一方の辺にまとめる. \\ \bm{複数の文字がある場合,\ 最も次数が低い文字で整理する}ことが基本である. \\ ここでは,\ x,\ y,\ zのいずれについても2次式であるから,\ xで整理した. \\ 係数と定数項を因数分解すると共通因数が見つかるから,\ くくりだせばよい. \\ さらに因数分解すると,\ 目標の積の形そのものになる. a+b+c=ab+bc+ca=3のとき,\ a,\ b,\ c\ はすべて1であることを証$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$明せよ. 次のように問題の日本語を数式で表現しておき,\ それの証明を目指す. \\ なお,\ 「A^2+B^2=0\ \Longleftrightarrow\ A=0\ \ かつ\ \ B=0」は常識である. \\ A^2\geqq0,\ B^2\geqq0\ より,\ A=B=0\ の場合のみ和が0になる. \\[1zh] (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\ は,\ a,\ b,\ c\ の\bm{対称式}である. \\ よって,\ 基本対称式\ a+b+c,\ ab+bc+ca,\ abc\ で表す方針で変形すればよい.