arithmetic-geometric-proof

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3種の平均の間に常に成立する大小関係が次である.  つまり,\ 常に\ $\bm{\textcolor{blue}{(相加平均)\geqq(相乗平均)\geqq(調和平均)}}$\ が成り立つ. 調和平均は,\ \bm{逆数の相加平均\ \bunsuu{\bunsuu 1a+\bunsuu1b}{2}\ の逆数}である. \\ 特に重要なのは\ (相加平均)\geqq(相乗平均)\ であり,\ 応用問題の中でも頻出する. \\ 実際には,\ \ a+b\geqq2\ruizyoukon{ab}\ として使うことが多い. \\ また,\ (相加平均)\geqq(相乗平均)\ は,\ 前提条件を\ a\geqq0,\ b\geqq0\ と考えておくとよい. 両辺は正であるから,\ 2乗して証明すればよい. \\ 最初に分母をはらっておくとわずかに楽である. \\[1zh] 次のように2乗せずに直接示すこともできる. \\ 両辺の逆数をとる}と   $等号は,\ \bunsuu1a=\bunsuu1b\ のとき,\ つまり\ \bm{a=b\ のとき}に成立する.$ \\\\ (相加平均)\geqq(相乗平均)\ を適用し,\ 逆数をとる.} \\[.5zh] 不等式は,\ \bm{逆数をとると不等号が逆になる}ことに注意する. \\ あるいは,\ の両辺に\ を掛けてもよい. \\[.5zh] 右辺は分母分子をabで割ると  重要なのは,\ \bm{実質\ (相加平均)\geqq(相乗平均)\ の形を変えたにすぎない}ことである. \\ よって,\ (相乗平均)\geqq(調和平均)\ の知識は必須というわけではない.  $3種の平均の関係は,\ \bm{\textcolor{blue}{3変数}}の場合にも成立する.$ \\[.5zh] \bm{置換して有名な3次の因数分解公式に帰着させる}のがポイントである. \\ 因数分解後,\ 各因数がまたは\geqq0であることを示せばよい. \\[1zh]\ すでに取り上げたように,\ \bm{対称性を生かした平方完成}をすると簡潔に済む. \\ 等号成立は,\ \bm{A-B=0\ かつ\ B-C=0\ かつ\ C-A=0\ のとき}である. \\ つまり,\ A=B=C\ であり,\ a=b=c\ である. \ 2変数の場合と同様,\ \bunsuu1a+\bunsuu1b+\bunsuu1c\ に証明済みの相加相乗平均を適用する. \\ 等号成立は,\ \bunsuu1a=\bunsuu1b=\bunsuu1c\ のときである. 4変数}}の\ (相加平均)\geqq(相乗平均)\ も成立し,\ 証明も応用上重要である.$ \\[.2zh]  $さらに,\ \bm{\textcolor{cyan}{4変数の場合を経由して3変数の場合を証明する}}方法も重要である.$ \\\\  等号成立 a=b=c=d)}$}両辺を4乗}すると$ 4変数の場合は,\ \bm{2変数の相加相乗を2回適用}して求められる. \\ まず,\ 適用しやすいように\ \bunsuu12\ をくくりだし,\ 2つに分割する. \\\ 計3つの相加相乗を適用したので,\ その全ての等号が同時に成立する必要がある. \\[1zh] \bm{4変数目のdを3変数の式の左辺に置換する}と,\ 3変数の場合を示すことができる. \ この後,\ 次のように変形していけば,\ 3変数の場合が示される. \\ \bm{両辺を4乗\ →\ 両辺を\ \bunsuu{a+b+c}{3}\ で割る\ →\ 両辺を3乗根} \\[.8zh] 等号成立は,\ a=b=c=\bunsuu{a+b+c}{3}\ のときである. 以上の4変数と3変数の場合と同様の発想で,\ n変数の場合が証明できる(高難度).