binomial-theorem

検索用コード
公式\ を一般化する.$ \\  そのために,\ そもそも展開とは何かを$(a+b)^3$を例に考えよう. \\[.5zh]  8つの項がすべて\textbf{\textcolor{red}{異なる色の文字の積}}となっており,\ 同じものはない. \\  つまり,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{各項は3つの$\bm{(a_k,\ b_k)}$から一方を選び,\ それを掛けて作られる.}} \\  例えば,\ $a_1b_2a_3\,は,\選んできて掛けたものである.$ \\[.5zh]  以上から,\ 展開式が次のようにして得られることがわかる. \\ \centerline{\textbf{「\textcolor{red}{各因数内の項から1個ずつ選んで掛けたものをすべて足し合わせる}」}} \\\\  $3つの因数からa\,2個とb\,1個を選ぶ場合の数が3通りあったわけである.$ \\  $\bm{\textcolor{red}{同じ組合せになるよう選ぶときの場合の数が各項の係数になる}}とわかる.$ \\\\[.5zh]  $3つの箱\から1個ずつ取り出すとする.$  $\textcolor{violet}{\maru b3個}を選ぶと\textcolor{violet}{b^3}となり,\ その場合の数は\ \textcolor{red}{\kumiawase33=1\ 通り}である.$ \\[.5zh]  $このように考えると,\ 実際に展開計算せずとも展開式を得ることができる.$ \  $以上を一般化して,\ 次の\bm{\textcolor{blue}{二項定理}}が得られる.$などは,\ aを何個選ぶかではなく,\ bを何個選ぶかを考えて立式している. \\ 左から\ \kumiawase n0,\ \kumiawase n1\ \cdots\ と並ぶように書くのが一般的で,\ それに合わせるためである. \\ このとき,\ 一般項(第r+1項)は \bm{\kumiawase nra^{n-r}b^r} \\[1zh] なお,\ (二項式)^n\,の展開式に現れることから,\ 組合せ記号\,\kumiawase nr\,を\bm{二項係数}ともいう. 展開せよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$(2)\ \ (3x-2y)^{10}\ のx^3y^7\ の項の係数を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$(3)\ \ \left(2x^2-\bunsuu{3}{x}\right)^6\ の定数項を求めよ.$ \\ 一般項は (1)\ 二項定理を適用するだけである. \\ \phantom{(1)}\ 理解した上で,\ 素早く機械的に記述できるようにしておこう. \\[1zh] (2)\ 10個の因数から,\ \bm{3xを3個,\ -2yを7個選べばよい}のはほぼ明らかである. \\ \phantom{(1)}\ いきなり\ \kumiawase{10}{7}\cdot3^3\cdot(-2)^7\ を計算してもよいが,\ 複雑な問題に応用できない. \\ \phantom{(1)}\ \bm{一旦一般項を文字で表し,\ x^3y^7\,となるようなrを特定する.} \\ \phantom{(1)}\ つまり,\ 一般項\ \kumiawase nra^{n-r}b^r\ にa,\ b,\ nを代入し,\ \bm{係数部分を分離後rを定める.} \\ \phantom{(1)}\ 後は係数部分にrを代入すればよい.\ なお,\ \kumiawase{10}{7}=\kumiawase{10}{3}\ として計算する. \\[1zh] (3)\ 結果的には,\ 6個の因数から,\ x^2\,を2個,\ \bunsuu1x\,を4個選べば定数項となる. \\ \phantom{(1)}\ 本問は,\ x^2\,と\,\bunsuu1x\,が打ち消しあうため,\ (2)ほど単純にはわからない. \\ \phantom{(1)}\ やはり,\ 一般項から求めるのが確実である. \\ \phantom{(1)}\ 12-3r=0,\ つまりr=4のとき,\ x^0=1\ より,\ 定数項となる. \\[1zh] 詳細な学習は指数・対数分野になるが,\ 次のような指数法則を用いる必要がある. \\