proportional-expression

検索用コード
比例式の扱い}}$ \\[.5zh]   文字を減らす.} =k\ とおくと,\ x→y→z→xのように文字が循環した連立方程式に帰着する. \\ \bm{循環型の連立方程式は,\ 各辺の和をとると対称式になる}ことを利用する. \\ 和をとった式から各式を引くと,\ 容易にx,\ y,\ zが求まる. \\[1zh] 本問の求値式は,\ 分母も分子も2次の項だけでできている. \\ このような分数式を\bm{同次式}といい,\ kが約分されて値が求まる. \\ 逆に言えば,\ \bm{同次式の値は比さえわかれば求められる.} a,\ b,\ c,\ d\ は正数で,\ a:b=b:c=c:d\ が成り立つとする.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$このとき,\ (a+b):(b+c)=(b+c):(c+d)\ が成り立つことを示せ.$ \\ 条件が比の形で与えられた場合,\ 直ちに\bm{分数での表現に変換する.} \\ a:b=c:d\ のとき,\ ad=bc\ より,\ \bunsuu ab=\bunsuu cd\ が成立する(両辺をbdで割った). \\ \bunsuu ac=\bunsuu bd\ (両辺をcdで割る)や,\ \bunsuu dc=\bunsuu ba\ (両辺をacで割る)\ にも変形できる. \\[.5zh] \bm{a:b=c:d\ \Longleftrightarrow\ \bunsuu ab=\bunsuu cd}\ は素早く変換できるようにしておこう. \\[1zh] \bm{連比}\ a:b:c=d:e:f\ は,\ 「a:b=d:e\ \ かつ\ \ b:c=e:f」を意味する. \\ 本問は,\ 条件も結論も分数で考えて証明すればよい. \\ 本解のようにa,\ b,\ cをすべてdで表してもよいが,\ 別解が簡潔である.  [東北学院大] 循環型の連立方程式となるから各辺を足してから整理する. \\ (a+b+c+3)=2k(a+b+c+3)\ の両辺を\ a+b+c+3\ を割ってはいけない. \\ a+b+c+3=0\ になる可能性があるからである. \\ よって,\ 左辺に集めて\bm{因数分解}することになる. \\ 同値関係\ 「AB=0\ \Longleftrightarrow\ A=0\ または\ B=0」\ を適用し,\ 場合分けする. \\ 本問の場合,\ \maru4より,\ 「a+b+c+3=0\ または\ 1-2k=0」\ となる. \\[1zh] 一般に,\ ax=ay\ において,\ a\neqq0\ が確定していない限り,\ x=y\ とはできない. \\ a(x-y)=0\ より,\ 「a=0\ または\ x-y=0」\ としなければならないのである. \\ \bm{文字式の場合,\ 両辺を割るとき=0になるか否かに特段の注意が必要である.} \\[1zh] さて,\ 本問が厄介なのは,\ 次のような記述で解答を終えてはいけないことである. \\ a+b+c+3=0\ のとき,\ \bunsuu{a+1}{b+c+2}=-1  よって\ k=-1,\ \bunsuu12 \\ なぜなら,\ これは必要条件にすぎず,\ \bm{必要十分条件になっていない}からである. \\[1zh] 「\maru1\ かつ\ \maru2\ かつ\ \maru3\ \Longrightarrow\ \maru4」\ は逆が成立しない. \\ 通常,\ \bm{式の数が減ると同値性が保たれない.} \\ 例えば,\ は逆が成立しない(左に戻れない). \\ 逆も成立させるためには,一方の式を残す. \\ 要は,\ \maru4\ のa+b+c+3=0,\ k=\bunsuu12\ が\maru1と\maru2も満たすかの確認が要るのである. \ b+c+2\neqq0\ (問題の分母は\neqq0と考えてよい)\ より,\ k=-1 \\ a+b+c+3=0\ かつ\ k=-1\ のとき,\ \maru2も満たすから,\ k=-1\ は答えである. \ よって,\ a=b=c\ のとき,\ \maru1も\maru2も満たすから,\ k=\bunsuu12\ は答えである. \\[1zh] 必要十分条件を意識して記述するならこのようになるが,\ やや難しい. \\ そこで,\ 本解では,\ 単純にすべての式に代入して確認しておいた.