logarithm-definition

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この問題の解法は2つある.\ わかりやすいのは次の方法だろう. \\\\  $\textcolor{red}{8^{\log_25}=A}\ とおき,\ \textcolor{cyan}{底を2とする対数をとる}と   しかし,\ 次の方法が簡潔で速い. \\[.5zh]  別解は,\ 最後に$\bm{\textcolor{blue}{a^{\log_aM}=M}}を使うことを見越して変形している.$ \\  この関係を知らないまたは意識していない人は多いが,\ 割とよく登場する. \\  式中に$\textcolor{magenta}{2^{\log_25}が出てきたとき,\ 瞬時に5に変換できるか否か}の差は大きい.$ \\  公式と考えてもよいが,\ $\bm{\textcolor{blue}{何故a^{\log_aM}=Mが成り立つのか}}を確認する.$ \\\\  $まず,\ \bm{\textcolor{blue}{対数の定義}}を確認する.$ \\ $ この場合pは有理数ではないので簡潔に表せない.\ これでは不便である.$ \\ $ だから決めたのだ. \bm{\textcolor{red}{「a^p=Mとなるようなpを\log_aMと表そう」}}と.$ \\[.5zh] $ これでpがどんな値でも統一的に指数を表現できるようになった.$ \\であるから,\ 真数となる.$ \\\\ $ ここで,\ \textcolor[named]{ForestGreen}{p=\log_aM を,\ a^p=Mのpに代入}してみる.$ \\[.5zh]  すなわち {\LARGE $a^p=\bm{\textcolor{red}{a^{\log_aM}=M}}$} が成立する. \\[.5zh]  これは公式ではなく,\ \textbf{\textcolor{blue}{対数の定義そのもの}}なのである.