logarithm-maxmin

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対数を1つにまとめて},\ \textcolor{red}{真数部分の最大・最小を考える.}}$ \\[.5zh]   (2)\ $\bm{\textcolor{cyan}{\log_ax=X}\ と置換し,\ 整関数に帰着させる.}$ \\[.5zh]   (3)\ $\bm{\textcolor{red}{多項式条件を対数表現に変換する.}}$ \\[.5zh]   (4)\ $\bm{\textcolor{red}{対数条件を多項式表現に変換する.}}$ \\\\\\   よって,\ yの最小値を求めるために,\ \bm{真数部分の最大値を求める}ことになる. \\ 上に凸の2次関数で,\ 頂点\left(\bunsuu92,\ \bunsuu14\right)が4にあるから,\ これが最大である. まとめれそうにないので,\ \bm{分解する方向で変形し,\ 置換する}と2次関数に帰着. \\ \bm{Xの定義域}は,\ 通常全ての実数だが,\ 本問は1\leqq x\leqq9があるので確認が要る. \\ \bm{多項式と対数が混在している場合,\ 一方に統一する.} \\ (\log_2x)(\log_2y)はどうにもならないので,\ \bm{x^2y=8を対数に変換}する. \\ 置換するとき,\ \bm{定義域の確認}を忘れない. \\ 結局,\ X\geqq1,\ Y\geqq0,\ 2X+Y=3\ の下で,\ XYの最大・最小を求める問題に帰着. \\ \bm{等式条件が1つある2変数関数の最大・最小は,\ 1文字消去法が有効である.} \\ 本問は,\ Yの消去が楽だが,\ このとき,\ \bm{Y\geqq0もXの条件に変換する}必要がある. \\ 結局,\ X\geqq1,\ Y\geqq0は,\ 1\leqq X\leqq\bunsuu32\ となる.\ 極めて忘れやすいので注意しよう. \\ \centerline{$\therefore x^2+y^2\ の\bm{最小値\ 16}$} \\\\ とにかく最初に\bm{真数条件を確認}. \\ \bm{多項式と対数が混在している場合,\ 一方に統一する.} \\ x^2+y^2\ を対数にしてもどうしようもないので,\ \bm{対数条件を多項式に変換する}. \\ 結局,\\ xy=8の下で,\ x^2+y^2の最小を求める問題に帰着する. \\ \bm{一文字消去}を行うと,\ \bm{○+\bunsuu{1}{○}}\ という形が現れる. \\ この形の最小は,\ \bm{相加相乗平均を用いて求める頻出パターン}である. \等号成立は\ a=b\ のとき) \\ 一般に,\ \bm{積が一定である和の最小}を求める場合,\ 相加相乗が有効である. \\ x^2+\bunsuu{64}{x^2}\geqq16\ より,\ 直ちに最小値16としてはいけない.\ \bm{等号成立の確認}が要る. \\ 16以上は,\ 最小値16をも意味するわけではない.\ 最小値100でも16以上である. \\ 等号が成立するようなxが存在して初めて,\ 最小値16が確定する.