logarithm-calculation

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基本方針は大まかには次の2段階である. \\[.5zh]  $[1]$\ $\bm{\textcolor{blue}{底の変換公式}\ \textcolor{red}{\log_ab=\bunsuu{\log_cb}{\log_ca}}\ を用いて,\ \textcolor{red}{全ての底を統一}する.}$ \\[.5zh]  $[2]$\ $\bm{\textcolor{blue}{対数の性質}を用いて,\ \textcolor{cyan}{「まとめる」}か\textcolor{magenta}{「分解する」}の\textcolor{red}{一方を徹底する.}}$ \\[.2zh]    \maru1 $\bm{\textcolor{cyan}{\log_aMN}=\textcolor{magenta}{\log_aM+\log_aN}}$  $[\textcolor{brown}{積の対数=対数の和}]$ \\[.2zh]    \maru2 $\bm{\textcolor{cyan}{\log_a\bunsuu MN}=\textcolor{magenta}{\log_aM-\log_aN}}$  \ \ $[\textcolor{brown}{商の対数=対数の差}]$ \\[.2zh]    \maru3 $\bm{\textcolor{cyan}{\log_aM^k}=\textcolor{magenta}{k\log_aM}}$      \ \ $[\textcolor{brown}{指数部分\ \leftrightarrow\ 係数}]$ \\\\  \textbf{\textcolor{cyan}{「まとめる」} \textcolor[named]{ForestGreen}{左辺への変形を徹底}し,\ \textcolor{red}{1つの対数にまとめる.      }} \\  \textbf{\textcolor{magenta}{「分解する」} \textcolor[named]{ForestGreen}{右辺への変形を徹底}し,\ \textcolor{red}{真数部分が素数になるまで分解する.}} \\\\\\  対数は,\ できる変形とできない変形をしっかり区別しておく必要がある. \\  次は,\ \textbf{\textcolor{blue}{よくある間違えた変形係数を指数部分に移動真数部分を素因数分解 底はすでにそろっている.\ 本解はまとめる方針で,\ 別解は分解する方針で求めた. \\ どちらが楽かは場合による.\ 両方の方針で求めることができるようにしておこう. \\ また,\ 一部をまとめて一部を分解していたりすると,\ 堂々巡りになる. \\ 必ず,\ 「まとめる」か「分解する」のどちらか一方を徹底することを心掛けよう. \\ まとめる方針の場合,\ \bm{まず係数を指数部分に移動する.} \\ その後,\ \bm{真数部分を,\ 和は積で,\ 差は商で一気にまとめて計算する.} \\ 分解する方針の場合,\ \bm{まず真数部分を素因数分解する.} \\ その後,\ \bm{積は和に,\ 商は差に分解し,\ さらに指数部分を前に出す.} 底を2に統一係数を指数部分に移動底を2に統一真数部分を素因数分解}]$} \\[.2zh] まとめるか分解するか,\ いずれにしても\bm{まず底の統一}が必要である. \\ 底を2に統一する.\ 3や5に統一しても実質同じである. \\ 一般に,\ \bm{\log_ab}=\bunsuu{\log_bb}{\log_ba}=\bm{\bunsuu{1}{\log_ba}},\ つまり\ \log_ab\cdot\log_ba=1\ が成り立つ. \\ 本問はこれを拡張したものであり,\ \log_ab\cdot\log_bc\cdot\log_ca=1\ が成り立つ. 底を2または5に統一する. \\ 左の括弧内を2,\ 右の括弧内を5に統一したくなるが,\ \bm{両方を同じ底にする.} \\ 右の括弧内は,\ 対数が分母にあるため,\ まとめる方針は適切ではない. \\ \bm{分解する方針}でいくと,\ それぞれの括弧内が整理でき,\ 結局対数は約分される. \\ \bm{底を10に統一し,\ 分解する.}\ 本問のポイントは,\ \log_{10}5をどうするかである. \\ \log_{10}2が与えられている場合,\ 次のような手順で\log_{10}5を表せるのは盲点だろう. \\