exponential-maxmin

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置換\ a^x=X\ により,\ 簡単な方程式に帰着させる.}$ \\[1zh]   $[2]$\ $\bm{\textcolor{cyan}{置換\ a^x+a^{-x}=t}\ により,\ 簡単な方程式に帰着させる.}$ \\[.2zh]    \ \ この型は,\ 次の2つの重要ポイントを含む. a^xとa^{-x}の対称式}の扱い}\ (a^x+a^{-x}\ で\ a^{nx}+a^{-nx}\ を表す)$ \\    \ \ \maru2\ $\bm{\textcolor{red}{(相加平均)\geqq(相乗平均)で定義域を求める.}}$ \\\\\\ 置換することを目指して,\ 指数の定数部分を分離する. \\ 定義域を確認する.\ \bm{底が1より小さいので,\ 大小関係が逆転する.} \\ 最大値はX=1のときだが,\ このときのyは,\ y=4X^2-4Xに代入して求める. \\ 平方完成した式にX=1を代入する人をよく見かけるがどう考えても面倒である. \\ \phantom{ (1)}\ $yは,\ t=2のとき最小値2をとる.$ \\[.5zh] \centerline{$\therefore \bm{x=0のとき 最小値\ 2}$} \\\\ 対称式 tのみで表した後は,\ \bm{相加相乗平均の関係で,\ tの定義域を求める.} \\ 相加平均と相乗平均の関係は,,\ \bunsuu{a+b}{2}\geqq\ruizyoukon{ab}\ である. \\ ほとんどの場合,\ \bm{a+b\geqq2\ruizyoukon{ab}}\ の形で使用する. \\ 相加相乗でt\geqq2がわかっても,\ 実際にtの最小値が2であるという保証はない. \\ 仮にtの最小値が100であったとしても,\ t\geqq2がいえるからである. \\ よって,\ \bm{等号成立条件}を調べ,\ tが2をとりうることを確認する必要がある. \\ 等号成立条件は,\ \bm{a=b}より,\ 本問では\bm{2^x=2^{-x}}である. \\ 本問では,\ たまたま最小値をとるときのtが,\ 等号成立時のtの値と一致した. \\ よって,\ そのときのxは,\ 2^x=2^{-x}から求めることができた. \\ 一致しない場合は,\ t=\bm{2^x+2^{-x}=2}\ を解いて,\ xを求めることになる. \\ (相加平均)\geqq(相乗平均)}から$ \phantom{ (1)}\ $等号は,のとき成立する.最小値\ 相加平均と相乗平均の関係を用いると,\ 積が一定のとき,\ 和の最小値が求まる. \\ 本問では,\ 常に3^x\cdot 3^{-x}=1なので,\ 相加相乗で最小値が求まる.\ 微分は必要ない. \\ y\geqq4\ruizyoukon2\ だけでは,\ 最小値が4\ruizyoukon2\ である保証はされない. \\ 等号が成立して初めて最小値が4\ruizyoukon2\ であるといえる. \\