exponential-law

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 $混同したときは,\ m=3,\ n=2として具体的に考えてみる.$ \\  $本来,\ \bm{\textcolor{red}{a^3はaを3個掛けたもの}}という認識があれば自明な法則である.$ \\\\ \ \rei\ $\bm{a^3\times a^2=a^{\textcolor{cyan}{3+2}}=a^5}  a^3\times a^2=aaa\times aa=a^5$\ {\small $(a3個とa2個でa5個)$} \\\\ \ \rei\ $\bm{(a^3)^2=a^{\textcolor{magenta}{3\times2}}=a^6}   (a^3)^2=(aaa)(aaa)=a^6$\ \ {\small $(a3個が2つでa6個)$} \\\\\\\\  {\Large $\bm{\textcolor{blue}{混同しやすい指数法則\ \fbox2}}$} \\\\ $ a=4,\ n=2の例を見ると$ \\     4^{\frac12}=\ruizyoukon4=2}$} \\\\\\  \textbf{ところで,\ \textcolor{blue}{何故\ \fbox{2}\ のような法則が成り立つのだろうか.}} \\\\  \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{数学は自然な拡張を行うことで発達してきた.}} \\  自然数のとき,\ \fbox{1}\ の規則は自明であろう. \\  よって,\ $\bm{\textcolor{red}{\fbox{1}\ が成立するようにa^{-n}とa^{\frac1n}を定義する}}のが自然である$. \\\\  $まず,\ \bm{\textcolor{blue}{a^0を\maru1が成立するように定義}}する.$ \\  $これは,\ \bm{\textcolor{red}{a^0=1}}と定義するとよいことを示唆している.$ \\\\  $次に,\ \bm{\textcolor{blue}{a^{-n}を\maru1が成立するように定義}}する.$ \\  $これは,\ \bm{\textcolor{red}{a^{-n}=\bunsuu{1}{a^n}}}と定義するとよいことを示唆している.$ \\\\  $さらに,\ \bm{\textcolor{blue}{a^{\frac1n}を\maru2が成立するように定義}}する.$ \\  $これは,\ \bm{\textcolor{red}{a^{\frac1n}=\ruizyoukon[n]{a}}}と定義するとよいことを示唆している.$