exponential-equation

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センター試験]} \\[1zh] 関西学院大]} \\ 両辺の底を統一し,\ 指数部分のみを取り出す.}置換\ a^x=X\ \ 簡単な方程式に帰着させる.}$ \\\\  実際には,\ まず$[1]$を考え,\ 無理そうならば,\ $[2]$に持ち込めばよいことが多い. \\  その他,\ $\bm{\textcolor{cyan}{a^x=X,\ b^y=Y}}とおく型(5)や,\ \bm{\textcolor{red}{両辺の対数をとる}}型(6)がある.{3}}}${両辺の底を2に統一}]$} \\[.3zh] a^x=a^pにはできそうにないので,\ \bm{a^x=Xと置換することを目指して変形}する. \\ それには,\ まず\bm{指数の定数部分を分離}しなければならない. \\ 4^{x+1}=4^x\cdot4^1=(2^2)^x\cdot4=2^{2x}\cdot4=(2^x)^2\cdot4=4(2^x)^2, 2^{x+3}=2^x\cdot2^3=8\cdot2^x \\ 細かい手順は上のようになるが,\ \bm{4^x=(2^x)^2}の変形は瞬時にできるように. \\ 置換したときは,\ 常に\bm{\underline{定義域を確認する.}}\ 別に置換せずに進めても問題はない. \\ むしろ,\ 置換せずに\ (6\cdot2^x-1)(2\cdot 2^x-1)=0\ として進めていくほうが速い. \\ 2^x=\bunsuu12は,\ 2^x=2^{-1}より,\ x=-1 \\[.5zh] 2^x=\bunsuu16は,\ 対数の知識が必要になる.\ なお,\ 答えの形は1つではない. \\ 対数の性質を用いると \log_2\bunsuu16=-\log_26=-(1+\log_23) \phantom{ (1)}\ \textcolor{red}{分母をはらう}と  まず,\ 指数の定数部分を分離する. 3^{1-x}=3^1\cdot3^{-x}=3\cdot3^{-x} \\ \bm{a^xとa^{-x}が混在する場合,\ a^{-x}=\bunsuu{1}{a^x}\ と考えて分母をはらう.} \\ すると,\ a^x=Xと置換するタイプに帰着する. \left(\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}\right)^xを置換することで,\ 2次方程式に帰着する. \\ センター試験では上の解答のように誘導されたが,\ 次のようにしてもよい. \\ \log_{\frac{1}{\ruizyoukon2}}\bunsuu15と答えてもよいが,\ センターでは,\ 2\log_25の形で答えさせられた. \bm{a^x=X,\ b^y=Yと置換するパターン}である.\ 定義域も確認. \\ \bm{X,\ Yの対称式}となるので,\ 2次方程式を作成して求めるのがスマートである. \\ もちろん,\ Y=-X+12とする1文字消去法で解くこともできる. \\ 真数条件}よ \phantom{ (1)}\ $\textcolor{red}{両辺の3を底とする対数}をとる.$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $\textcolor{red}{x^2\log_9x=\log_3x\ruizyoukon x} より \bunsuu12x^2\log_3x=\bunsuu32\log_3x$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ よって $(x^2-3)\log_3x=0$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ ゆえに $x^2-3=0\ または\ \log_3x=0$ \\[.5zh] り \bm{x=\ruizyoukon3,\ 1}$} \\\\ 対数を見かけたときは,\ 何よりもまず,\ \bm{真数条件を確認}する. \\ 両辺の底の統一も,\ a^xを置換できる形にもっていくことも難しい. \\ \bm{複雑な指数を解消する役割も兼ねて,\ 両辺の対数をとる.} \\ 式の中に複数の底の対数が存在する場合,\ \bm{底を統一}するのが先決である. \\ 底の変換公式より,\ ここで,\ 安易に両辺を\log_3xで割らないよう気をつけよう. \\ \log_3x=0の可能性があるからである.\ よって,\ 一方の辺に集めて,\ 因数分解する. \\ x^2-3=0より,\ x=\pm\ruizyoukon3,\ \log_3x=0より,\ x=1