tangent-number2

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点(a,\ b)から曲線\ y=x^3-x\ に異なる3本の接線が引けるとする.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$このとき,\ 点(a,\ b)の存在範囲を図示せよ.$ \\  \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{接線が点$\bm{(a,\ b)}$を通るように立式}すると,\ \textcolor{blue}{解の個数問題}に帰着する.} \\  ただし,\ \textbf{\textcolor{red}{定数が分離できないので,\ 極値の積を考える}}ことになる. \\\\  接点を\ P$(\bm{\textcolor{cyan}{t}},\ t^3-t)$\ とおく.\ また,\ $y’=3x^2-1\ である.$ \\[.5zh]  点Pにおける接線の方程式は \\[.2zh]  この直線が$点(a,\ b)を通るから  ここで,\ \textcolor{green}{\underline{\textcolor{black}{3次関数では,\ 接点の個数と接線の本数は一致する.}}} \\[.2zh]  ゆえに,\ \textcolor{red}{\maru1が異なる3つの実数解をもてば,\ 問題の条件を満たす.}  $y=f(t)がt軸と異なる3点で交わる条件は$ \\[.2zh] $\therefore \bm{求める領域は,\ 上図の斜線部分.\ 境界線は含まない.}$ 3次関数\ y=f(t)\ がt軸と異なる3点で交わる条件を考える. \\ \bm{「極値をもつ かつ 極大値と極小値の一方が正で他方が負」}である. \\ 極値をもつ条件は,\ f'(t)=0\ が異なる2つの実数解をもつことである. \\ よって,\ f'(t)=0\ の2解\ t=0,\ a\ が一致するとき,\ f(t)は極値をもたない. \\ ゆえに,\ \bm{極値をもつ条件は,\ a\neqq0}\ となる. \\ このとき,\ 極大値と極小値の一方が正で他方が負であれば,\ t軸と3点で交わる. \\ 「一方が正で一方が負」という条件は,\ \bm{「積が負」}という条件と考える. \\ 結局,\ \bm{(極値の積)=f(0)f(a)\ が条件となる. \\[1zh] 後は領域図示の問題である. \\ 間違っても,\ (a+b)(-a^3+a+b)を展開してはいけない. \\ \bm{1つの座標平面に複数のグラフを描くとき,\ 最初に互いの位置関係を調べる.} \\ 連立して解くことで,\ 交点や接点の存在,\ さらにその位置が求まる. \\ 本問では,\ 3次関数\ b=a^3-a\ と\ 直線\ b=-a\ の位置関係を調べる必要がある. \\ b=a^3-a\ と\ b=-a\ を連立すると a^3-a=-a より a^3=0 \\ よって,\ 3重解\ a=0\ をもつから,\ \bm{a=0で接し,\ それ以外の共有点はもたない.} \\[1zh] また,\ 本問では,\ b=a^3-a\ が容易に因数分解できる(常に意識しておくこと). \\ よって,\ 極値を求めるより,\ a軸との交点を求めて図示するとよい. \\ b=a^3-a=a(a^2-1)=a(a+1)(a-1)\ より,\ a=-1,\ 0,\ 1でa軸と交わる. \\ これらを全て確認し,\ 主要な点をとった後で,\ 曲線を描く. \\ a\neqq0\ より,\ 原点を含まないことを白丸にしてアピールしておくのもよい. \\[1zh] 最後まで\maru1かつ\maru2と考えて図示したが,\ 実は\maru2だけで十分である. \\ よって,\ a\neqq0である.\ \maru2があれば,\ 自動的に\maru1が満たされるということである. \\ ここまで考えて条件を1つにする必要もないので,\ \maru1かつ\maru2として図示した. \\[1zh] \bm{引ける接線の本数の構図}を覚えている人にとっては当然の結果であろう.