orthogonal

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2曲線\ y=x^3+\bunsuu34x,\ y=\bunsuu23x^2+a\ が,\ その共有点で直交しているとする.$} \\[.5zh] \hspace{.5zw}定数$aの値と,\ 共有点におけるそれぞれの曲線の接線の方程式を求めよ.$ \\  \textbf{\textcolor{magenta}{2曲線の交点($\bm{x=p}$)における接線が直交する.}} \\  このとき,\ \textbf{「\textcolor{blue}{2曲線が$\bm{x=p}$で直交する}」}という. \\[.5zh]  その条件は接点のy座標が一致}) \\[.2zh] 接線の傾きの積が-1})  2曲線が$\textcolor{red}{x=p}で直交するための条件は$ \\[.5zh]  2曲線の共有点は   また,\ 共有点におけるそれぞれの接線の傾きは \\[.5zh]  よって,\ 共有点におけるそれぞれの接線の方程式は \\[.5zh]     2曲線の直交条件を立式すると,\ 連立方程式\maru1,\ \maru2に帰着する. \\[1zh] まず,\ pのみの方程式である\maru2からpを求める. \\ 因数定理を用いて因数分解するわけだが,\ pに代入すべき値の目安が次である. \\ \bm{p=\pm\bunsuu{定数項の約数}{最高次の項の係数の約数 順番に代入すると,\ p=-\bunsuu12\ のとき0になるので,\ 2p+1を因数にもつとわかる. \\ 交点は座標平面上の点であるから,\ 当然実数である. \\ 2p^2-p+1=0\ は虚数解しかもたないから条件を満たさない. \\[1zh] 共有点のy座標は,\ f(p)とg(p)のどちらでもよいが,\ 次数の低いg(p)で求めた.