complex-conjugate-number

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実数係数のn次方程式\ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0\ がある.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$この方程式が虚数解\ \alpha\ を解にもつとき,\ その共役複素数\ \kyouyaku\alpha\ も解にもつ$ \\[.2zh]  超有名定理であるが,\ その証明を知らない学生が多い. \\  非常にスマートな証明があるので,\ パターンとして覚えておきたい. \\\\[1zh]  共役複素数に関して,\ 次の性質が成立する.  両辺の共役複素数をとる を解にもつことを意味している.}$} \\\\\\ 共役複素数に関する性質[容易に証明できる.\ 一部の例を示す. \ x=\alpha\ を解にもつから,\ これを代入すると成立する. \\ ここで,\ \bm{両辺の共役複素数をとる.} \\ この後,\ 性質[1],\ [2],\ [3]を用いて,\ \bm{\maru1に\ \alpha\ を代入した形まで変形}してけばよい. \ 本問は,\ 普段方程式の問題でよく使う有名定理の証明である. \\  \bm{\textcolor{blue}{「\underline{実数係数}のn次方程式が虚数解をもつとき,\ 共役複素数も解にもつ」}} \\ この性質は,\ あくまでも\bm{実数係数の場合のみ成立する}ことに注意する. \\ 実数係数でない場合,\ [3]が適用できないからである. \\ よって,\ この性質を使うとき,\ \bm{必ず実数係数であることを断る}べきである. \\[1zh] また,\ 全く同様の原理で,\ 次の定理も証明できる. \\  \bm{\textcolor{blue}{「\underline{有理数係数}のn次方程式が無理数解をもつとき,\ 共役無理数も解にもつ」}}