解の存在範囲については、数I:2次方程式の解の存在範囲(基本) でグラフによる解法を学習済みである。ここでは同値変形による解法を学習する。

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2次方程式\ x^2-ax+a^2-3a=0\ が,\ 次の条件を満たすような定数aの$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$値の範囲を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} $(1)\ \ 正の実数解と負の実数解をもつ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} $(2)\ \ 異なる2つの正の実数解をもつ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} $(3)\ \ 2より大きい実数解と2より小さい実数解をもつ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} $(4)\ \ 2より小さい異なる2つの実数解をもつ.$ \\  数Iではグラフで考えたが,\ ここでは\textbf{\textcolor{magenta}{同値変形}}を利用して求める. \\\\  $2次方程式が異なる2つの実数解\ \alpha,\ \beta\ をもつとき$ \\[.5zh] 実数\ \alpha,\ \beta\ における同値関係が次である. \\ ここで,\ \bm{正負は実数に対してのみ存在する概念であり,\ 虚数には正負はない.} \\ 「\alpha,\ \beta\ がともに正」は,\ \alpha,\ \beta\ が実数であることを前提としている. \\ 例のように,\ だけでは,\ 2解が虚数である可能性が残る. \\ それゆえ,\ \bm{実数解条件\ も加わる}のである. \\[1zh] x=\alpha,\ \beta\ を解にもつ2次方程式の1つは  よって,\ 異符号の場合,\ 基本的な解の存在範囲は,\ このような条件でとらえると簡潔に済む. \\ しかし,\ 応用的な解の存在範囲には対応できず,\ 汎用性は低い. \\ まずは,\ グラフによる解法をしっかり習得しておこう. \\ その上で,\ 簡潔に済ませたいならば,\ この条件を用いるとよい.  上記の応用として,\ 次のパターンも存在する. \bm{よくある間違い}が次である. \\  (\bm{間違い}) \\ 具体例を挙げれば,\ 次のようになる. (\bm{間違い}) \\[1zh] 次の同値関係は,\ あくまでも\bm{右辺が0の場合にのみ成立する}のである(\bm{正しい}) \\[1zh] であるならば,\ 右辺を0にしてから適用すればよい. あらかじめ解と係数の関係を用いて,\ 2解の和と積を求めておく. \\ 以下,\ f(x)=x^2-ax+a^2-3a\ とする. \\[1zh] \ と一致する. \\[1zh] (4)\ グラフにおける\ \ と一致する.