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1辺の長さがaの正四面体\mathRM{ABCD}について,\ 次の値を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ 表面積$S$  \ (2)\ 2面のなす角の余弦  \ \hspace{.1zw}(3)\ 高さ$h$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} (4)\ 体積$V$   (5)\ 内接球の半径$r$    (6)\ 外接球の半径$R$ \\ 単に正三角形の面積の4倍.\ 正三角形の面積は,\ S=\bunsuu12ab\sin \theta\ の利用が最速. 対称性より,\ 頂点Aから下ろした垂線の足は\textcolor{red}{底面\mathRM{BCD}の重心}である.辺BCの中点をMとすると,\ 直角三角形AMGにおいて \\[.5zh] 三平方の定理}重心の性質の利用}] \bm{2面のなす角の定義}は,\ \bm{2つの平面の交線に垂直な2直線(法線)のなす角}である. \\ 対称性より,\ どの面のなす角も等しいので,\ \triangle \mathRM{ABC}と\triangle\mathRM{BCD}のなす角を求める. \\ いずれも正三角形なので,\ \bm{中線を引けば,\ \mathRM{BC}と垂直に交わる.} \\ \bm{辺\mathRM{BC}は,\ 2平面\mathRM{\triangle ABCと\triangle BCD}の交線}である. \\ さらに,\ \bm{\mathRM{AM\perp BC,\ DM\perp BC}であるから,\ \angle\mathRM{AMD}が2面のなす角}である. \\ さて,\ 正三角形の2面のなす角は,\ 対称性を最大限利用して求める. \\ \bm{重心の性質「中線を2:1に分割」}を使うと,\ \bm{長さを求めずとも\cos が瞬殺できる.} \\ 実際に長さを求めて\cos を求める別解も一応示した. \\ 中線の長さは,\ 三平方の定理でも,\ 直角三角形の比1:\ruizyoukon3:2で求めてもよい. \\ 1つ目の別解は,\ 結局重心の性質も使うので,\ 本解と比べてメリットはない. \\ 2つ目の別解は,\ 重心の性質を使わずに,\ 余弦定理で求めたものである. \\ 右上図は,\ \bm{正四面体を真上から見た図}であり,\ \mathRM{AとG}が一致している. \\ 右下図は,\ \bm{正四面体を3点\mathRM{A,\ M,\ D}で通る平面で切断したときの断面図}である. \\ 立体図形の問題では,\ このように平面を取り出して図示することが重要である. \\ このとき,\ 自分の書いた立体図から,\ 本当に見たまま取り出した図を描く人が多い. \\ しかし,\ それでは\bm{平面図を描く意味がない}ので,\ 絶対にやめてほしい. \\ \bm{その断面が実際にどのような図になるかを考えて描く}必要がある. \\ \mathRM{\triangle BCDは正三角形,\ \triangle AMDは二等辺三角形となるように図示する.} \\ また,\ 垂線も実際に90\Deg になるように引かなければならない. 本解は,\ (2)で求めた2面のなす角を利用する方法である. \\ 別解は,\ 重心の性質を利用する方法であり,\ なす角を経由せずに求められる. \\ \mathRM{\triangle AMG}で考えてもよいが,\ \mathRM{AD}=aを利用する方がわずかに計算が楽である. \底面積\times 高さ\times\bunsuu13}\right]$} \\\\\\ 内接球の中心をOとすると(三角錐OABC)+(三角錐OBCD)+(三角錐OCDA)+(三角錐ODAB4つの面の面積)(表面積 内接円の半径を求めるとき,\ S=\bunsuu12r(a+b+c)\ を用いて面積から逆算した. \\ これを空間に応用し,\ \bm{内接球の半径を体積から逆算して求める.} \\ \bm{四面体体積は,\ 頂点が\mathRM{O}で,\ 各面を底面とする4つの三角錐の体積の和に等しい.} \\ このことと,\ 先に求めた体積の結果を用いると,\ 内接球の半径が求まるのである. \\ 体積から逆算して内接球の半径を求める方法は,\ 正四面体でなくても有効である. \\ 別解は,\ \bm{中心\mathRM{O}の位置を求めてから内接球の半径を求める}方法である. \\ 対称性から,\ 内接球の中心は,\ 断面\mathRM{AMD}上にあるので,\ それを取り出す(右下図). \\ このとき,\ \bm{内接球の断面は,\ 辺\mathRM{AD}とは接していない}ことに要注意である. \\ 元々,\ \bm{内接球は,\ 正四面体の各面の重心で内接}しており,\ 辺とは内接していない. \\ さらに,\ 対称性から,\ 内接球の中心は,\ \bm{垂線\mathRM{AG}上}に存在する. \\ ここで,\ \mathRM{\triangle MAD}は,\ \mathRM{MA=MD}の二等辺三角形である. \\ よって,\ \mathRM{中心O}は,\ \bm{頂点\mathRM{M}から引いた二等分線(中線でもある)上}にある. \\ 結局,\ 内接球の中心は,\ \mathRM{\bm{垂線AGとMから引いた二等分線の交点}となる.} \\ さて,\ \bm{角の二等分線と辺の比の関係}を用いると,\ \bm{\mathRM{AO:OG}=3:1}が導かれる. \\ 結局,\ \bm{正四面体の中心は,\ 垂線を3:1に内分した点}となる(暗記推奨). \\ 対称性より,\ \bm{内接球の中心も外接球の中心も点\mathRM{O}}である. \\ ゆえに,\ 内接球の半径r=\mathRM{OG},\ 外接球の半径R=\mathRM{OA=OB=OC=OD}である. 対称性より,\ \textcolor{magenta}{内接球の中心と外接球の中心は一致する.} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ また,\ 内接球の中心Oは,\ 垂線AG上に存在するから,\ $\mathRM{r=OG}$である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ 外接球の半径は,\ \textcolor{magenta}{中心Oから頂点までの距離に等しく},\ $R=\mathRM{OA}$である. \\[.5zh] 本解は,\ 中心\mathRM{O}の位置が求まっていない場合の解法である. \\ \bm{(外接球の半径R)=(垂線の長さh)-(内接球の半径r)}\ で求められる. \\ 別解は,\ 中心の位置(垂線を3:1に内分)が既に求まっている場合の解法である. \\ 答えだけでよい場合,\ 中心の位置を覚えていれば,\ 瞬殺が可能である. 正四面体の立方体への埋め込み}}}} \\\\  一部の図形量は,\ これを利用すると,\ 中学生レベルの知識で求められる. \\[.2zh]  $\bm{\textcolor{purple}{1辺の長さがaの四面体}は,\ \textcolor{red}{1辺の長さが\bunsuu{a}{\ruizyoukon2}の立方体に埋め込まれる.}}$ \\[.2zh]  立方体の対角線の長さは等しいから,\ 下図の四面体ABCDは正四面体だ. \\\\  正四面体ABCDは,\ \textcolor{red}{立方体から,\ 4つの三角錐を取り除いた図形}である. \\[.2zh]  これを利用すると,\ \textbf{\textcolor{blue}{体積}}が容易に求まる. \\[.5zh]  $(三角錐\mathRM{C}\mathRM{ABP}の体積 \mathRM{A,\ B,\ C,\ D}以外の立方体の頂点をP,\ Q,\ R,\ Sとする. \\ 立方体から,\ 4つの三角錐\mathRM{CABP,\ DABQ,\ BCDS,\ ACDR}を取り除けばよい.  体積が求まれば,\ \textcolor{red}{体積を2通りに表すことで,\ 正四面体の高さを逆算}できる. \\  頂点Aから底面BCDにおろした\textbf{\textcolor{blue}{垂線の長さを$\bm{h}$}}とすると \\[.2zh] 体積から高さを逆算という手法は,\ 中学生がよく使うものである. \\ 正三角形の面積は,\ \sin 公式を用いたが,\ 三平方の定理で中学生でも求められる. 外接球の半径$\bm{R}$}}は,\ \textcolor{red}{立方体の中心Oから頂点までの距離に等しい.} \\[.5zh] 対称性より,\ \mathRM{O}から頂点までの長さは,\ 立方体の対角線の長さの半分である. \\ 立方体の対角線の長さは,\ 三平方の定理を用いれば,\ 1辺の長さの\ruizyoukon3倍である.  最後に,\ \textbf{\textcolor{blue}{内接球の半径$\bm{r}$}}を求める. \\[.2zh]  内接球の中心もOであり,\ 半径は\textcolor{red}{Oから$\triangle$BCDまでの距離に等しい.} \\[.5zh]