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ABCが$\bunsuu{\sin A}{7}=\bunsuu{\sin B}{8}=\bunsuu{\sin C}{13}$を満たすとき,\ 最大角の大きさを求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $\triangle$ABCが$(a+b):(b+c):(c+a)=4:5:6$を満たすとき,\ $C$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ $\triangle$ABCが$A:B:C=3:4:5$を満たすとき,\ $a:b$を求めよ. \\
\\[-.8zh] \hline
\end{tabular} \\\\
\centerline{{\Large \textbf{\textcolor{blue}{正弦定理(比例式)と余弦定理}}}} \\\\[.5zh] (1)\ \ \textcolor[named]{ForestGreen}{正弦定理}より $\textcolor{red}{a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=7:8:13}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ $\textcolor{cyan}{a=7k,\ b=8k,\ c=13k\ (k>0)}$\ とおける. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ また,\ \textcolor{magenta}{最大辺は$c$であるから,\ 最大角は$C$}である. \\
分数が等しいと言うことは比が等しいということである.  は,\ \sin A:\sin B:\sin C=7:8:13\ を意味する. \\[.6zh] さらに正弦定理\ a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C\ を考慮して,\ 角度の条件を辺の比の条件に変換できる. \\[.2zh] 3辺の比さえわかれば,\ 3辺の長さがわからなくても角度は求められる. \\[.2zh] 3辺の比が等しい三角形はすべて相似であり,\ 三角形の大きさによらず角度は同じだからである. \\[.2zh] 3辺から角度を求めるには余弦定理を用いるのであった.\ このためには3辺の長さが必要である. \\[.2zh] \bm{比例式が与えられた場合,\ 比率を文字で設定して通常の等式に変換する}のが定石である. \\[.2zh] さらに,\ 三角形の角の大小は辺の大小と一致することから最大角を特定し,\ 余弦定理を適用する. \\[.2zh] 最終的に比率kは消え,\ Cが求められる.
比例式を通常の等式に変換してa,\ b,\ cを求める. \\[.2zh] さて,\ \bm{a,\ b,\ cが循環した連立方程式には特有の解法がある.} \\[.2zh] まず3式の両辺を足す.  2(a+b+c)=15k より a+b+c=\bunsuu{15}{2}k \\[.5zh] この式から最初の3式をそれぞれ引けばよい.\ 例えば,\ b+c=5kを引くとa=\bunsuu52k\ が求まる. \\[1zh] 余弦定理を適用するとき,\ \bunsuu12k=lとおいてa=5l,\ b=3l,\ c=7lとすると計算が楽になる. \\[.8zh] 角の比を通常の等式に変換し,\ 三角形の内角の和が180\Deg\,であることを用いると3角が決定する. \\[.2zh] 後は正弦の比を求めればそれが辺の比である.