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次の公式により,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{2辺とその間の角の$\bm{\sin}$から三角形の面積を求めることができる.}} \\[1zh] {三角形の面積の公式}} 1/2bcsinA 
証明を示す.\ \ [1]\ 鋭角三角形,\ \ [2]\ 直角三角形,\ \ [3]\ 鈍角三角形に分けて示す必要がある. \\\\
図[1]の鋭角三角形において,\ 頂点Bから辺ACに下ろした垂線をBHとする. \\[.2zh] 図[2]の直角三角形において,\ $S=\mathRM{AC\times AB\div2}=\bunsuu12bc$である. \\[.2zh] \maru1において$A=90\Deg$とすると$\bunsuu12bc$となるから,\ \maru1は$A=90\Deg$のときも成り立つ. \\\\
図[3]の鈍角三角形において,\ 頂点Bから辺ACの延長線上に下ろした垂線をBHとする. \\[.2zh] 直角三角形ABHにおいて,\ $\angle\mathRM{BAH}=\theta$とすると $\sin\theta=\bunsuu{\mathRM{BH}}{c}$ \\[.2zh] ここで,\ $\sin\theta=\sin(180\Deg-A)=\sin A$より$\sin A=\bunsuu{\mathRM{BH}}{c}\ であるから \mathRM{BH}=c\sin A$ \\[.5zh] 3辺の長さから面積を求めるという最も重要な面積問題である.\ 普通,\ 3つの過程を踏む必要がある. \\[.2zh] \maru1\ \ 余弦定理で\cos を求める. \cos A=\bunsuu{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\[.8zh] \maru2\ \ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1を用いて\,\cos\,から\,\sin\,を求める. \\[.2zh] \maru3\ \ 面積の公式S=\bunsuu12bc\sin A\ を適用する. \\\\
3辺が整数の三角形の面積を求めるだけならば,\ ヘロンの公式が有効(証明を含む詳細は別項目). \\[.2zh] ヘロンの公式\ S=\ruizyoukon{s(s-a)(s-b)(s-c)}\ \left(s=\bunsuu{a+b+c}{2}\right) \\[1zh] s=\bunsuu{4+5+6}{2}=\bunsuu{15}{2}\ より S=\ruizyoukon{\bunsuu{15}{2}\cdot\bunsuu72\cdot\bunsuu52\cdot\bunsuu32}=\bunsuu{15\ruizyoukon7}{4} \\\\
\bm{「2つの三角形に共通するものを2通りに表す」}という発想により,\ 中学生的に求めることもできる. \\[.2zh] \mathRM{A}から辺\mathRM{BC}に下ろした垂線の足を\mathRM{H}とし,\ \mathRM{BH}=xとする. \\[.2zh] \triangle\mathRM{ABHと\triangle ACH}に着目し,\ 三平方の定理を用いて\mathRM{AH}^2\,を2通りに表すと \\[.2zh] (1)の方法を学習すると,\ 短絡的に(2)も同じ方法をとりがちである. \\[.2zh] しかし,\ \bm{二等辺三角形}である(2)は,\ \bm{中学生的に求める}のがよい. \\[.2zh] 二等辺三角形では,\ \bm{頂角から下ろした垂線が底辺を二等分する.} \\[.2zh] よって,\ 三平方の定理で垂線の高さを求めることができ,\ 後は\ (底辺)\times(高さ)\div2\ である.
二等辺三角形を中学生的に求めると,\ 今度は(3)も同様の方法で求めてしまいがちである. \\[.2zh] しかし,\ \bm{正三角形ならば,\ 60\Deg なので\,S=\bunsuu12bc\sin Aを利用すると一発で求まる.}
直角三角形なら三平方の定理が成り立つが,\ 逆に\bm{三平方の定理が成り立つなら直角三角形}である. \\[.2zh] よって,\ 直角三角形であることに気付きさえすれば,\ (底辺)\times(高さ)\div2で瞬殺できる. \\[.2zh] \bm{(3,\ 4,\ 5)と(5,\ 12,\ 13)は,\ 3辺が整数の直角三角形の代表}である. \\[.2zh] これは\bm{暗記事項}であり,\ 気付けなかった人は学習不足である. \\[.2zh] また,\ (6,\ 8,\ 10)など,\ 比が(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)と同じものも直角三角形である(相似だから).