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1辺の長さ4の正四面体ABCDがあり,\ 辺AD上に$\mathRM{AE=2}$となるように点Eをとる. \\[.2zh] \hspace{.5zw}また,\ 辺BC上に点P,\ 辺BD上に点Qをとる. 3つの線分の長さの和$\mathRM{AP+PQ+QE}$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}の最小値を求めよ. \\
立体表面上の最短経路}}}} \\\\
立体表面上の最短経路は,\ \textbf{\textcolor{red}{展開図を図示して線分で結ぶ}}に尽きる. \\
余弦定理より $\mathRM{AE^2=8^2+2^2-2\cdot8\cdot2\cdot\cos60\Deg=52}$ \\\\
\mathRM{AP+PQ+QE}の最小値は\ \ \bm{2\ruizyoukon{13}}
正四面体の展開図を書けない学生が意外と多いが,\ \bm{4つの正三角形をつなげる}だけである. \\[.2zh] どのようにつなげるかで複数の書き方をすることができる. \\[.2zh] ただし,\ 本問では\mathRM{点P,\ Qを通る線分AE}を引けるように展開図を書く必要がある. \\[.2zh] \mathRM{AE}の長さを求めるには,\ \mathRM{\triangle AA}’\mathRM{E}に余弦定理を適用すればよい.
}右図のように,\ 底面が半径1の円,\ 母線OAの長さが3の直円錐がある. \\[.2zh] \hspace{.5zw}また,\ 母線OBの中点をCとする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}直円錐の側面上を通って点Aから点Cに至るときの最短距離を求めよ
底面の円の円周長は$2\pi$である.\ 展開図における扇形の中心角を$\theta$とする. \\[.2zh] $\textcolor{red}{2\pi\cdot3\cdot\bunsuu{\theta}{360\Deg}=2\pi}\ より,\ \theta=120\Deg$である. \\[1zh] 余弦定理より 側面上の最短距離は\ \
円錐の側面の展開図が扇形となることと中心角の求め方は中学で学習済みである. \\[.2zh] \bm{扇形の弧長と底面の円の円周長が等しい}ことに着目して中心角を求めるのであった. \\[.2zh] \mathRM{OA}を半径とする円の円周長は6\pi\,であり,\ 弧\mathRM{AA}’は2\pi\,であるから,\ 中心角は120\Deg\,である. \\[.2zh] 対称性より\,\mathRM{\angle AOC=60\Deg}\,であるから,\ \mathRM{\triangle AOC}に余弦定理を適用すればよい.