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前項で以下に示すトレミーの定理とその証明を紹介した. \\[.5zh] \centerline{\textbf{\textcolor{cyan}{円に内接する四角形ABCD}}において $\mathRM{\bm{\textcolor{red}{AC\cdot BD=AB\cdot DC+AD\cdot BC}}}$} \\[.5zh] つまり,\ $\bm{\textcolor{forestgreen}{(対角線の長さの積)=(2組の対辺の長さの積の和)}}$である. \\[1zh] 本項では,\ 実際にトレミーの定理が利用できる代表的な問題を列挙する. \\[.2zh] なお,\ 大学入試ではトレミーの定理が役立つ問題をたまに見かける. \\\\\\\\
\hspace{.5zw}\begin{tabular}{|p{13.2cm}|}
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\\[-.8zh] \hspace{.5zw}円に内接する四角形$\mathRM{ABCD}が\mathRM{AB=3,\ BC=5,\ CD=7,\ DA=7,\ \angle ABC=120\Deg}$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}であるとき,\ $\mathRM{BD}\ の長さを求めよ.$ \\

$\angle\mathRM{ABC=120\Deg\,より,\ \angle ADC=60\Deg}$である. \\[.2zh] よって,\ $\triangle$ADCは正三角形であるから,\ $\mathRM{AC=7}$である. \\[.2zh] $\mathRM{四角形ABCD}に\textcolor{red}{トレミーの定理}を適用すると$ \\[.5zh] トレミーの定理の利用の代表は,\ \bm{円に内接する四角形の2本目の対角線を求める}ときである. \\[.2zh] 1本目は他の方法で求める必要がある.\ 本問の場合,\ 1本目は簡単に求まる. \\[.2zh] 円に内接する四角形の対角の和は180\Deg\,で,\ 挟む角が60\Deg\,の二等辺三角形は正三角形である. \\[.2zh] 正攻法は,\ 2つの三角形\mathRM{ABDとCBD}に余弦定理を適用し,\ 対角線を2通りに表すのであった.
\半径1の円Oがある.\ 円Oの中心から距離が3の点Pから円に引いた2本の接線と \\[.2zh] \hspace{.5zw}円Oの接点をA,\ Bとするとき,\ 線分ABの長さを求めよ. \
三平方の定理より $\mathRM{PA=PB=2\ruizyoukon2}$ \\[.2zh] 対角の和が$180\Deg$なので,\ 四角形OAPBは円に内接する. \\[.2zh] 四角形OAPBにトレミーの定理を適用すると
円に引いた接線と中心と接点を結ぶ線分は垂直をなす. \\[.2zh] \mathRM{\triangle OPA\equiv\triangle OPB\ (直角三角形において斜辺と他の1辺が等しい)より,\ PA=PBである.} \\[.2zh] \mathRM{\triangle POA\souzi \triangle PAH\ (2組の角が等しい)より,\ 3:1=2\ruizyoukon2:AH}とするのが正攻法である.一辺の長さが1の正五角形の対角線の長さを求めよ.
正五角形の対角線の長さを$x$とする. \\[.5zh] 右図の四角形BCDEにトレミーの定理を適用すると$ より $x^2-x-1=0$ \}四角形$\mathRM{ABDC}は円に内接しており,\ \mathRM{\triangle ABC}$は正三角形であるとする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\mathRM{AD=BD+CD}\ となることを示せ.$ \\
四角形ABDCにトレミーの定理を適用すると1辺の長さが$a$,\ 対角線の長さが$b,\ c$の正七角形で$\bunsuu 1a=\bunsuu1b+\bunsuu1c$が成り立つことを示せ. \
四角形OBCDにトレミーの定理を適用すると 四角形ABCDは円に内接しており,\ 線分BDは直径である. \\[.5zh] \hspace{.5zw}$\mathRM{\angle ABD=\alpha,\ \angle CBD=\beta}$のとき,\ $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$を示せ
正弦定理より\ \ $\bunsuu{\mathRM{AC}}{\sin(\alpha+\beta)}=2\cdot\bunsuu12  \therefore\ \ \textcolor{red}{\mathRM{AC}=\sin(\alpha+\beta)}$ \\[1zh] 四角形ABCDにトレミーの定理を適用すると \
直径に対する円周角は90\Deg\,なので,\ 直角三角形による三角比の定義を用いて4辺を\,\alpha,\ \beta\,で表せる. \\[.2zh] 数\text{I\hspace{-.1em}I}の三角関数で学習する加法定理が導かれたことになる.\ ただし,\ 鋭角の場合に限る.