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右図のような四面体OABCの体積$V$を求めよ. \\[-3zh] 2直角四面体の体積}}
まず,\ 本問でよくある誤りが以下である. \ \ V=\mathRM{(底面積OAB)\times(高さOC
この誤りは,\ \mathRM{\bm{底面をOABとしたときの四面体の高さがOCであるという誤解}}に起因する. \\[1zh] 一般に,\ \bm{直線\,\ell\,と平面\,\alpha\,が垂直であるとき,\ 直線\,\ell\,は平面\,\alpha\,上の全ての直線と垂直}となる. \\[.2zh] 直線\mathRM{OC}は,\ 平面\mathRM{OAB}上の直線\mathRM{OA}と垂直でないから,\ 平面\mathRM{OAB}とは垂直ではない. \\[.2zh] よって,\ 底面を\mathRM{OAB},\ 高さを\mathRM{OC}と考えて体積を求めるのは誤りである. \\[1zh] また,\ \bm{直線\,\ell\,が平面\,\alpha\,上の平行でない2本の直線と垂直ならば,\ 直線\,\ell\,と平面\,\alpha\,は垂直}である. \\[.2zh] 図のように,\ 1本の直線と垂直というだけでは平面と垂直である保証はない. \\[.2zh] 結局,\ \bm{\mathRM{OAC}を底面とみると\mathRM{OB}が高さ}といえるわけである. \\[.2zh] 直線と平面の垂直条件は認知度が低いが重要なので,\ 確実におさえておいてほしい. \\[1zh] \mathRM{OB}が高さとなるように空間座標軸を設定した図も示した. \\[.2zh] \mathRM{OAB}を底面としたとき,\ 高さは\mathRM{OC}ではなく\mathRM{OH}であることが見て取れるだろう. \\[.2zh] なお,\ \mathRM{OCH}は30\Deg,\ 60\Deg,\ 90\Deg,\ つまり辺長が1:\ruizyoukon3:2の直角三角形であり,\ \mathRM{OH}=\ruizyoukon3\,である. \\[.2zh] よって,\ V=(底面積\mathRM{OAB})\times(高さ\mathRM{OH})\times\bunsuu13=\bunsuu12\cdot4\cdot3\times\ruizyoukon3\times\bunsuu13=2\ruizyoukon3\ と求めてもよい.