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$a$を定数とする.\ 方程式$\zettaiti{x^2-5x+4}-x+a=0$の実数解の個数を求めよ. \\
}{絶対値付き2次方程式の解の個数}}}} \\\\[.5zh] 与式より $\textcolor{red}{-\,\zettaiti{x^2-5x+4}+x=a}$ \\[.5zh] 求める実数解の個数は,\ $y=-\,\zettaiti{x^2-5x+4}+x$と直線$y=a$の共有点の個数に等しい.
絶対値の問題は,\ 場合分けして絶対値をはずすのが基本であった. \\[.2zh] 絶対値は,\ \bm{中身が0以上のときはそのまま,\ 負ならば-をつけてはずす.} \\[.2zh] さて,\ 2次方程式の解の個数は,\ 無条件ならば判別式で容易にわかる. \\[.2zh] しかし,\ 絶対値をはずすために場合分けすると,\ その範囲内での個数を数えることになる. \\[.2zh] 特定の区間内の実数解の個数を式で考えるのは困難なので,\ \bm{グラフを用いて図形的に考える.} \\[.2zh] 実数解の個数は,\ 図形的には\bm{共有点の個数}である. \\[.2zh] よって,\ グラフを図示して共有点の個数を数えればよい. \\[.2zh] しかし,\ 文字定数が含まれていると正確なグラフが図示できないので,\ \bm{aを分離}する. \\[.2zh] すると,\ y=-\,\zettaiti{x^2-5x+4}+xとy=aの共有点の個数に帰着する. \\[.2zh] \zettaiti{x^2-5x+4}-x=-\,a\ としてy=\zettaiti{x^2-5x+4}-xとy=-\,aの共有点と考えることもできる. \\[.2zh] しかし,\ y=-\,aはaが増えるほど直線が下に移動し,\ ミスを誘発するので推奨できない. \\[.2zh] 後は,\ 絶対値をはずしてグラフを描き,\ x軸に平行な直線y=aとの共有点の個数を読み取る. \\[.2zh] x\leqq1,\ 4\leqq xではy=-\,(x-3)^2+5,\ 1<x<4ではy=(x-2)^2\ のグラフである.
求める実数解の個数は,\ $y=\zettaiti{x^2-5x+4}$と直線$y=x-a$の共有点の個数に等しい. \\[1zh] $y=-\,x^2+5x-4とy=x-aを連立すると x^2-4x-a+4=0$ \\[.2zh] 接する条件は
直線x-aを分離する解法も考えられる. \\[.2zh] 本問のように複数の分離の仕方がある場合,\ どう分離するのが一番楽かを考えることになる. \\[.2zh] どう分離するにしても,\ 原則として\bm{一方は直線}でなければならない. \\[.2zh] 曲線同士の場合,\ わずかな曲がり具合の違いによって共有点の個数が変化しうる. \\[.2zh] これを図で判断するのは厳密性に欠けるのである. \\[1zh] さて,\ 普通はaのみを分離する.\ x軸に平行な直線で,\ 共有点の個数が容易にわかるからである. \\[.2zh] しかし,\ 本問の場合,\ x-aと分離する解法にもメリットがある. \\[.2zh] 他方の\bm{y=\zettaiti{x^2-5x+4}\,が場合分けせずに図示できる}ようになる点である. \\[.2zh] \bm{\dot{全}\dot{体}\dot{に}絶対値がついたグラフは,\ 元のグラフのx軸の下の部分を上に折り返したもの}になる. \\[.2zh] x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0よりx軸とx=1,\ 4で交わることも考慮し,\ 直ちに図示できる. \\[.2zh] 後はy=x-a\ (\bm{傾き1,\ y切片-aの直線})との共有点の個数を考えればよい. \\[.2zh] \bm{接する瞬間に個数が変化}することに気付くので,\ このときのaを判別式で求めることになる. \\[.2zh] y切片が-aなので,\ \bm{直線が上に行くほどaは小さくなる}ことに注意して答える.
$a$を定数とする.\ 方程式$\zettaiti{x^2-4x}-4ax-2a=0$の実数解の個数を求めよ.
求める実数解の個数は,\ $y=\zettaiti{x^2-4x}$と直線$y=4a\hspace{-.2zw}\left(x+\bunsuu12\right)$の共有点の個数に等しい. \
aのみを完全に分離することはできない(無理矢理やると容易に図示できない関数になる). \\[.2zh] そこで,\ =4ax+2aとして分離することになる.\ さらに,\ 傾き4aをくくり出す. \\[.2zh] すると,\ x=-\bunsuu12\ のとき,\ aの値によらず0になることがわかる. \\[.6zh] 図形的には,\ 定点\left(-\bunsuu12,\ 0\right)を通ることを意味する. \\[.6zh] 数\text{I}の段階では難しいが,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I}の通る定点を学習済みの人には自然な発想である. \\[.2zh] y=\zettaiti{x^2-4x}\,は,\ y=x^2-4xのx軸の下側の部分を上に折り返したグラフである. \\[.2zh] 接する瞬間に共有点の個数が変化するので,\ このときのaを判別式で求める.