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次の条件を満たす2次関数を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $頂点が(3,\ -\,2)で,\ 点(4,\ 1)を通る.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $軸がx=1で,\ 2点(-\,2,\ 5),\ (2,\ -\,3)を通る.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $3点(-\,1,\ -\,1),\ (1,\ -\,3),\ (2,\ 2)を通る.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ $3点(-\,2,\ 0),\ (-\,1,\ -\,6),\ (1,\ 0)を通る.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (5)\ \ $3点(-\,1,\ 1),\ (2,\ 4),\ (5,\ 1)を通る.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (6)\ \ $x=-\,1で最大値4をとり,\ 点(2,\ 1)を通る.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (7)\ \ $最小値が-8で,\ 2点(2,\ 0),\ (6,\ 0)を通る.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (8)\ \ $x軸とただ1つの共有点をもち,\ 2点(-\,2,\ 8),\ (4,\ 2)を通る.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (9)\ \ $y=-\,x^2\ を平行移動したもので,\ 点(-\,3,\ 2)を通り,\ 頂点が直線y=-\,2x-1$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{ (1)}\ \ $上にある.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (10)\ \ $頂点が(1,\ 2)で,\ x軸から切り取る線分の長さが4である.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (11)\ \ $2点(2,\ -\,2),\ (6,\ 4)を通り,\ x軸から切り取る線分の長さが6である.$ \\
e}{2次関数の決定}}}} \\\\
与えられた条件により,\ 2次関数の3つの表現を使い分ける. \\\\
\begin{tabular}{ll}
$[1]$\ \ $\bm{\textcolor{blue}{基本形} \textcolor{red}{y=a(x-p)^2+q}}$ & $\bm{(\textcolor[named]{ForestGreen}{軸や頂点に関する条件がある})}$ \\[.5zh] $[2]$\ \ $\bm{\textcolor{blue}{一般形} \textcolor{red}{y=ax^2+bx+c}}$ & $\bm{(\textcolor[named]{ForestGreen}{通る3点の条件がある})}$ \\[.5zh] $[3]$\ \ $\bm{\textcolor{blue}{分解形} \textcolor{red}{y=a(x-\alpha)(x-\beta)}}$ & $\bm{(\textcolor[named]{ForestGreen}{x軸との2交点\ \alpha,\ \beta\ の条件がある})}$
\end{tabular} \\\\[.5zh] さらに,\ \textbf{\textcolor{magenta}{「2次関数の対称性」}}を常に意識しておく. \\\\\\
(1)\ \ $頂点(3,\ -\,2)\ より,\ \textcolor{red}{y=a(x-3)^2-2}\ とおける.$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 点$\textcolor{cyan}{(4,\ 1)}を通るから \textcolor{cyan}{1}=a(\textcolor{cyan}{4}-3)^2-2$   {\small $[\,\textcolor{BrickRed}{点を通る\ \Longleftrightarrow\ 代入して成り立つ}\,]$} \\[.2zh] 3点が与えられているからといって,\ 一般形y=ax^2+bx+cで設定すべきではない. \\[.2zh] 3点の中にx軸との交点2点が含まれているので,\ 分解形で設定すると文字1個で済む. \\[1zh] 2次関数の決定問題では,\ 時として次のような表現で出題されることがある. \\[.2zh] 「y=ax^2+bx+cが点(-\,2,\ 0),\ (-\,1,\ -\,6),\ (1,\ 0)を通るとき,\ 定数a,\ b,\ cの値を求めよ.」 \\[.2zh] この場合も,\ 誘惑に負けてy=ax^2+bx+cに代入してはならない. \\[.2zh] 自分で分解形で設定してy=3(x+2)(x-1)を求めた後,\ 展開してa,\ b,\ cを答えると簡潔に済む.
}{対称性}より,\ 頂点は(2,\ 4)である.$
3点が与えられているからといって,\ 一般形y=ax^2+bx+cで設定すべきではない. \\[.2zh] 通る2点(-\,1,\ 1),\ (5,\ 1)において,\ \bm{y座標が等しい}ことに着目する. \\[.2zh] 2次関数の対称性を考慮すると,\ \bm{y座標が等しい2点の中央に軸がある}はずである. \\[.2zh] 一般に,\ 中点は足して2で割って求められるから,\ 軸はx=\bunsuu{-\,1+5}{2}=2とわかる. \\[.5zh] さらに,\ 軸上の点(2,\ 4)を通ることから,\ (2,\ 4)が頂点であることもわかる.
,最大値・最小値は頂点の条件\,}
最小値-8は頂点のy座標が-8ということだが,\ y=a(x-p)^2-8と設定すべきではない. \\[.2zh] 対称性も考慮すると,\ \bm{軸が(2,\ 0),\ (6,\ 0)の中央であるx=4}であることまでわかる. \\[.2zh] 後は,\ 分解形で設定して(4,\ -\,8)を通ると考えるか,\ 基本形で設定して(2,\ 0)を通ると考える.
2次関数が直線とただ1つの共有点をもつということは,\ 接するということである. \\[.2zh] さらに,\ x軸と接するということは\bm{頂点のy座標が0}ということであるから,\ 基本形で設定する. \\[.2zh] 問題はこの後の連立方程式で,\ 両辺を割ってaを消去する必要がある. \\[.2zh] \bm{積・商型の連立方程式では,\ 両辺を掛けたり(\neqq0を確認した上で)割ったりして1文字消去する.} \\[.2zh] 第2式でp=4とすると2=0となり矛盾するから,\ p\neqq4,\ つまり4-p\neqq0である. \\[.2zh] \bunsuu{(第1式)}{(第2式)}\ より \bunsuu{8}{2}=\bunsuu{a(-\,2-p)^2}{a(4-p)^2}   よって 4=\bunsuu{(-\,2-p)^2}{(4-p)^2}  後は分母を払って計算. \\[1zh] 和・差型の連立方程式において,\ 両辺を足したり引いたりして1文字消去するのと同様である. \\[.2zh] 仮に両辺を割ることに気付けなくても,\ 一方をa=の形にして他方に代入すれば同じことである. \\[.2zh] 頂点がy=-\,2x-1上にあることから,\ 頂点の座標が(p,\ -\,2p-1)とおける. \\[.2zh] 頂点を(p,\ q)とおいてq=-\,2p-1を作成おき,\ 後から連立してもよいが面倒である. \\[.2zh] 多くの場合,\ \bm{できる限り文字数を増やさないように設定}した方が後が楽になる.
対称性}と切り取る線分の長さより,\ x軸と\
頂点(1,\ 2)より,\ y=a(x-1)^2+2と設定して点(-\,1,\ 0)を通ると考えてもよい. \\[.2zh] どっちしにても,\ \bm{最初に対称性を考慮してx軸との交点を特定しておく}必要がある. \\[.2zh] これをしなければ,\ (11)のような面倒な解法をとることになる.
切り取る線分の条件をどのように数式に組み込むかが勝負である. \\[.2zh] \bm{x軸との2交点\,\alpha,\ \beta\,間の距離}と考えると2交点のx座標を\,\alpha,\ \alpha+6とおけ,\ 分解形で設定できる. \\[.2zh] 積・商型の連立方程式となるので,\ 両辺を割ってaを消去する. \\[.2zh] \maru2において,\ \alpha=0,\ 6とすると4=0となり矛盾する