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2次方程式では,\ まず\bm{x^2\,の係数を正の整数}にすることが重要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ たすき掛けの因数分解は,\ 整数係数でなければ困難だからである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 解の公式を使うにしても,\ 分母になるx^2\,の係数が正の整数でなければ後が面倒になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問は,\ 2,\ 3,\ 6の最小公倍数である6を掛けるとすべて整数係数になる. \\[1zh] (2)\ \ 小数を解消するために両辺を10倍する.\ さらに,\ 両辺を3で割ると簡単になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 割って簡単になる場合にさっさと割る癖を付けておかなければ,\ 後がどんどん面倒になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 因数分解できないので,\ 解の公式(b=2b’)\ x=\bunsuu{-\,b’\pm\ruizyoukon{{b’}^2-ac}}{a}\ を利用する. \\[1zh] (3)\ \ x^2\,の係数の根号を解消(有理化)するために両辺を\ruizyoukon2\,倍する. \\[.4zh] \phantom{(1)}\ \ その後,\ 解の公式\ x=\bunsuu{-\,b\pm\ruizyoukon{b^2-4ac}}{2a}\ を利用すればよい. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 実は,\ 因数分解できる.\ \maru1を因数分解したのが別解1,\ 与式を因数分解したのが別解2である. \\[1zh] (4)\ \ (\ruizyoukon a-\ruizyoukon b\,)の有理化は,\ (\ruizyoukon a+\ruizyoukon b\,)を掛けるのであった.\ 最初に2をくくると楽になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 解の公式を使うと2重根号が現れるが,\ この2重根号ははずすことができる型である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2重根号をはずすとき,\ 必ず\bm{中身の根号の前を2にしなければならない.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問では,\ 9を根号の外にくくり出す(3になる)と,\ 自動的に根号の前が2になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \ruizyoukon{p+2\ruizyoukon{q}}\ は,\ \bm{足してp,\ 掛けてqになる2数a,\ bを用いて\ruizyoukon a+\ruizyoukon b\ としてはずせる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実は与式を因数分解できるので,\ 気付けるならばそれが速い(別解). \\[1zh] (5)\ \ 展開しても解けるが,\ \bm{共通部分を置き換えて考える}べきである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 上では置き換えたとみなした解答になっているが,\ わかりにくければx+1=Xとおけばよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2X^2=3X\ \ →\ \ 2X^2-3X=0\ \ →\ \ X(2X-3)=0\ \ →\ \ X=0,\ \bunsuu32 \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ ところで,\ 2X^2=3Xにおいて,\ \bm{両辺をXで割って2X=3としてはならない.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 数学において0で割ることは許されないからである.\ Xが0でないという保証はない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ X\neqq0という条件でもあれば割ってよいが,\ ないので=0の形にして因数分解することになる. \\[1zh] (6)\ \ 4次方程式であり,\ 展開してしまうと詰む. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 平方根の定義\ \bm{x^2=a\ (a>0)のとき\ x=\pm\ruizyoukon a}\ を利用する. \\[1zh] (7)\ \ 4次方程式であり,\ 単純に展開してしまうと詰む. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{共通部分ができるような組み合わせで展開し,\ 共通部分を置き換えて考える.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x^2-6x=Xとすると (X+5)(X+8)=4 X^2+13X+36=0 (X+4)(X+9)=0 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 可能な限り因数分解すると,\ x-3=0とx^2-6x+4=0に帰着する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x^2-6x+4=0 より x=-(-\,3)\pm\ruizyoukon{(-\,3)^2-1\cdot4}=3\pm\ruizyoukon5 \\[1zh] (8)\ \ 絶対値はとにかくはずす. \begin{cases}
x\geqq0\ のとき \zettaiti x=x & (中身が正ならばそのままはずす) \\[.2zh] x<0\ のとき \zettaiti x=-\,x & (中身が負ならば-をつけてはずす)
\end{cases} \\\\[-1zh] \phantom{(1)}\ \ 後は普通の2次方程式だが,\ \bm{場合分けの条件を満たすものだけが最終的な解}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実は,\ 本問は絶対値の性質を生かした非常に上手い解法がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 絶対値は,\ 2乗するとはずれるのであった. {\zettaiti x}^2=x^2 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これを逆に用いて\bm{x^2={\zettaiti x}^2}\,とすると,\ \bm{\zettaiti xの2次方程式}となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これを解くと\,\zettaiti x=-\,1,\ 4となるが,\ 常に\zettaiti x\geqq0より,\ \zettaiti x=4となる. \\[1zh] (9)\ \ 一般に,\ \bm{2乗の根号をはずすと絶対値がつく}のであった. \bm{\ruizyoukon{X^2}=\zettaiti X} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は絶対値をはずして解けばよい.\ 求まった解が場合分けの条件を満たすかの確認も忘れない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さて,\ \zettaiti X=Y型の方程式には,\ 裏技的な方法があった.\ 別解はこれを利用するものである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  \bm{\zettaiti X=Y\ \Longleftrightarrow\ X=\pm\,Y\ かつ\ Y\geqq0} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ 2次不等式x^2-4x-8\geqq0が出てくる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これは今後の学習内容なのだが,\ そもそも本問はこの2次不等式を解く必要はない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{得られた解を代入して,\ 満たすか否かを確認すれば済む}からである.