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対称式}}は,\ \textbf{基本対称式$\bm{\textcolor{cyan}{x+y},\ \textcolor{magenta}{xy}}$}のみで表すことができる. \\[.2zh] あらかじめ$x+yとxy$の値を求めておき,\ 基本対称式で表してから代入する.
xとyをそれぞれ有理化してもよいが,\ 分母が対称ならば\bm{通分によって自動的に有理化される.} \\[.2zh] ただし,\ (7)で交代式x-yの値を求めることを見越すと,\ それぞれ有理化するのも悪手ではない. \\[1zh] (1),\ (2)\ \ \textcolor{blue}{x^2+y^2=(x+y)^2-2xy,\ \ x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)}\ は公式であり,\ 瞬殺できる. \\[.2zh] \phantom{(1),\ (2)}\ \ x^2+y^2\,の値が既知ならば,\ x^3+y^3は因数分解公式を利用すると速い(別解). \\[1zh] (3)\ \ 4乗は2乗の2乗と考え,\ 公式\,x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\,においてx\,→\,x^2,\ y\,→\,y^2\,とする. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 指数法則\ a^nb^n=(ab)^n\ も利用する. \\[1zh] (4)\ \ \bm{5乗以上は低次の因数を組み合わせ,\ 余分な項を引く} \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ つまり,\ (x^3+y^3)(x^2+y^2)=x^5+x^3y^2+x^2y^3+y^5\ から余分な\,x^3y^2+x^2y^3\,を引く. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 普通は公式で求まる3乗と2乗を組み合わせるが,\ 4乗が既知ならば4乗と1乗でもよい. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ これは,\ 公式\ \textcolor{blue}{\bm{x^{n+2}+y^{n+2}=(x^{n+1}+y^{n+1})(x+y)-xy(x^n+y^n)}}\ (n=3)である. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 高次の対称式x^n+y^n\,の値を順に求めていくことを可能にする応用的な公式である. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \  n=3のとき x^5+y^5=(x^4+y^4)(x+y)-xy(x^3+y^3) \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \  n=4のとき x^6+y^6=(x^5+y^5)(x+y)-xy(x^4+y^4) \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \  n=5のとき x^7+y^7=(x^6+y^6)(x+y)-xy(x^5+y^5) \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 確実ではあるが面倒なので,\ 対称式の値を求める問題で利用することは少ない. \\[1zh] (5)\ \ 6乗は3乗の2乗と考えるのが速い.\ 2乗の3乗と考えると,\ (2)のように2通りの方法がある. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ x^5+y^5\,とx^4+y^4\,が既知ならば,\ 応用的公式の利用も有効である. \\[1zh] (6)\ \ 3通りの組み合わせが考えられる.\ 既知の値を利用できる組み合わせで求めるとよい. \\[1zh] (7)\ \ \bm{交代式は2乗すると対称式となる}ことを利用する.\ 2乗をはずすと本来は\,\pm\ruizyoukon{60}\,となる. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ この場合,\ \bm{元の値が常に正か,\ 常に負か,\ 両方になりうるのかを考慮しなければならない.} \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ (大)\,\ruizyoukon5+\ruizyoukon3>\ruizyoukon5-\ruizyoukon3\,(小)より\ x=\bunsuu{(大)}{(小)}>1,\ y=\bunsuu{(小)}{(大)}<1\ となるからx>yである. \\[.8zh] \phantom{(3)}\ \ 最初にxとyの値を求めていた場合は普通に代入して求めることができる(別解). \\[1zh] (8),\ (9),\ (10)\ \ \bm{2変数交代式は必ず(x-y)を因数にもつ}ことを利用する. \\[.2zh] \phantom{(3),\ (9),\ (10)}\ \ 因数分解すると必ず(x-y)がくくり出せ,\ 残りは対称式となる. \\[.2zh] \phantom{(3),\ (9),\ (10)}\ \ (9)については,\ \bm{\textcolor{blue}{x^3-y^3=(x-y)^3+3xy(x-y)}}\ も公式としておきたい. \\[1zh] (11)\ \ x^5-y^5\,ができるように低次の因数を組み合わせた後,\ 余分な項を調整する. \\[.2zh] \phantom{(11)}\ \ 一方を+,\ 他方を-にする必要があることを考慮すると,\ 4通りの組み合わせがある. \\[.2zh] \phantom{(11)}\ \ 交代式x^n-y^n\,については,\ 次の応用的な因数分解公式がある. \\[.2zh] \phantom{(11)}\ \ \bm{\textcolor{blue}{x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\cdots\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1})}} \\[.2zh] \phantom{(11)}\ \ この公式を用いてまず(x-y)をくくり出したのが最後の別解である. \\[1zh] (12)\ \ x^6-y^6\,は3乗の2乗とみることで素早く限界まで因数分解できる. \\[.2zh] \phantom{(11)}\ \ 2乗の3乗とみると,\ x^4+y^4\,が既知でない場合は少し面倒になる. \\[.2zh] \phantom{(11)}\ \ x^4+x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2-x^2y^2=(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)\ である(複2次式). \\[1zh] (13)\ \ 分数の和(差)の形の対称式は,\ \bm{通分}すると基本対称式で表せる. \\[1zh] (14)\ \ 2乗すると基本対称式で表せる.\ \ruizyoukon x\ruizyoukon y=\ruizyoukon{xy}\ である. \\[.2zh] \phantom{(11)}\ \ ○\neqq0のとき常に\,\ruizyoukon{○}>0\,より,\ \ruizyoukon x+\ruizyoukon y>0\ である. \\[.2zh] \phantom{(11)}\ \ 最初にxとyの値を求めていた場合は2重根号をはずして求めることもできる. \\[.2zh] とみなせば,\ (2)と同様に2通りの方法で求められる.
(1)\ \ 容易に求まるxyとx^2+y^2\,を先に求め,\ その後で対称式の公式を利用してx+yを求める. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 対称式という概念を知らなければ,\ このような解法は思い浮かばないだろう. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ○\neqq0のとき常に\ \ruizyoukon{○}>0\ であるから,\ x+y>0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2重根号をはずして求めることもできる. 
(2)\ \ \bm{共通部分を置き換えてみることで本質が浮かび上がる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 要は\ \bunsuu{(交代式)}{(交代式)}\ であるから(x-y)で約分でき,\ \bunsuu{(対称式)}{(対称式)}\ に帰着する.