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集合の要素,\ 集合の包含関係,\ 集合の表現}}}} \\\\[.5zh] \textbf{\textcolor{blue}{集合の要素}} \\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{集合}}(set)  \textbf{\textcolor{magenta}{属すか否かが明確に判別できるものの集まり.}}\ $A$などの大文字で表す. \\[.2zh] \phantom{\textbf{\textcolor{blue}{集合}}(set)}  1つの集合を英語でいうとワンセットである. \\[.2zh] \phantom{\textbf{\textcolor{blue}{集合}}(set)}  「頭が良い人」などは属すか否かが明確に判別できないので集合ではない. \\\\
\textbf{\textcolor{blue}{要素(\ruby{元}{{\tiny げん}})}}  \,\textbf{\textcolor{magenta}{集合に属する1つ1つのもの.}} \\[-.2zh] \phantom{  \textbf{\textcolor{blue}{要素(\ruby{元}{{\tiny げん}})}}}  \ \,$a$が集合$A$に属することを$\bm{\textcolor{red}{a\in A}}$,\ 属さないことを$\bm{\textcolor{red}{a\notin A}}$と表す. \\[-.2zh] \phantom{  \textbf{\textcolor{blue}{要素(\ruby{元}{{\tiny げん}})}}}  \ 記号の由来:要素(element)のe\ →\ $\epsilon$\,(エプシロン;ギリシャ文字)\ →\ $\in$ \\[-.2zh] \phantom{  \textbf{\textcolor{blue}{要素(\ruby{元}{{\tiny げん}})}}}  \ 有限個,\ 無限個の要素からなる集合をそれぞれ\textbf{\textcolor{blue}{有限集合}},\ \textbf{\textcolor{blue}{無限集合}}という. \\\\
\textbf{\textcolor{blue}{空集合\ $\bm{\varnothing}$}}  \,\textbf{\textcolor{magenta}{要素を1つももたない集合.}}\ empty set. \\\\\\
\textbf{\textcolor{blue}{集合の\ruby{包}{{\tiny ほう}}\ruby{含}{{\tiny がん}}関係}} \\[1zh] $\bm{\textcolor{red}{x\in Aならば常にx\in B}}$であるとき,\ \textbf{\textcolor{blue}{$\bm{A}$は$\bm{B}$の部分集合である}}といい,\ $\bm{\textcolor{red}{A\subset B}}$と表す. \\[.2zh] $x\in Aならば常にx\in A$であるから,\ \textbf{\textcolor{cyan}{$\bm{A}$自身も$\bm{A}$の部分集合}}である. \\\\
$\bm{\textcolor{red}{A\subset B\ かつ\ B\subset A}}$であるとき,\ \textbf{\textcolor{blue}{$\bm{A}$と$\bm{B}$は等しい}}といい,\ $\bm{\textcolor{red}{A=B}}$と表す. \\\\
集合の記号には複数の流儀があるので注意を要する. \\[.2zh] 高校では,\ \textbf{\textcolor{ForestGreen}{$\bm{A\subset B}$には$\bm{A=B}$も含まれる}}とする流儀を採用している. \\[.2zh] つまり,\ $A\subset B$と$A\subseteqq B$の意味は同じである.\ この点,\ 不等式の$<$,\ $\leqq$とは異なる. \\[.2zh] $\bm{\textcolor{red}{A\subset B\ かつ\ A\neqq B}}$であるとき,\ $A$は$B$の\textbf{\textcolor{blue}{真部分集合}}であるという. \\[.2zh] $A$が$B$の真部分集合であることを$\bm{\textcolor{red}{A\subsetneqq B}}$と表す. \\[1zh] \textbf{\textcolor{red}{空集合$\bm{\varnothing}$はすべての集合の部分集合}}であると約束する. \\[.2zh] つまり,\ すべての集合$A$に対して$\bm{\textcolor{red}{\varnothing\subset A}}$である. \\\\\\
\textbf{\textcolor{blue}{集合の表現}} \\[1zh] [1]\ \ \textbf{\textcolor{blue}{集合の外延的表示}}:\textbf{\textcolor{red}{要素を1つずつ書き並べる.}} \\[.5zh] [2]\ \ \textbf{\textcolor{blue}{集合の内包的表示}}:\textbf{\textcolor{red}{要素の満たす条件を示す.}} $\{\textcolor{cyan}{要素の代表}\,|\,\textcolor{magenta}{条件}\}$ \\\\
1桁の奇数の集合$A$ならば,\ 以下のように表現できる. \\[.5zh] [1]\ \ $A=\{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9\}$ \\[.5zh] [2]\ \ $A=\{n\,|\,nは奇数,\ 1\leqq n\leqq9\}$,  $A=\{2n-1\,|\,nは自然数,\ 1\leqq n\leqq5\}$ \\\\
$A=\{x\,|\,xは実数,\ 0\leqq x\leqq1\}$などは[1]の表現はできない. \\\\
1)\ \ 次の集合の間に成り立つ関係を$\subset,\ \supset,\ =$を用いて表せ. \\[.2zh] \hspace{.5zw}  \maru1\ \ $A=\{n\,|\,nは1桁の素数\},\ \ \ B=\{2n+1\,|\,nは整数,\ 1\leqq n\leqq3\}$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}  \maru2\ \ $A=\{x\,|\,x^2-5x+6=0\},\ \ \ B=\{n\,|\,nは6の正の約数\}$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}  \maru3\ \ $A=\{3n+1\,|\,n=0,\ 1,\ 2\},\ \ B=\{n\,|\,nは3で割ると1余る1桁の自然数\}$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 集合$A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}$の部分集合をすべてあげよ. \\
(1)\ \ 要素の個数が少ない有限集合ならば,\ すべての要素を書き出せば直ちに包含関係がわかる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \maru1\ \ 素数の定義は,\ \bm{2個の正の約数(1と自分自身)をもつ自然数}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \phantom{\maru1}\ \ 1は1の1個しか約数をもたないから素数ではない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \phantom{\maru1}\ \ 2は1と2の2個を約数にもつから素数である.\ すべての素数のうち2のみ偶数. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \phantom{\maru1}\ \ 1\leqq n\leqq3を満たす整数nはn=1,\ 2,\ 3で,\ 2n+1に代入するとBの要素がわかる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \maru2\ \ x^2-5x+6=0を解くと (x-2)(x-3)=0より x=2,\ 3 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \phantom{\maru1}\ \ 6の約数は6を割り切る整数なので,\ 1と6も含まれる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \maru3\ \ \bm{3で割ると1余る自然数には1も含まれる}ことに注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \phantom{\maru1}\ \ 1\div3=0\cdots1だからである. \\[1zh] (2)\ \ 要素が0個の部分集合(空集合)から順にあげていく.\ 空集合もA自身もAの部分集合である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 集合の要素には順序がないので,\ \{1,\ 2\}と\{2,\ 1\}は同じ集合である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \varnothing\,を\{\varnothing\}としてはならない.\ \varnothing\,は要素ではなく,\ これだけで集合を表すからである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 数\text{A}の場合の数の知識があれば,\ すべて書き出せているかを心配しなくても済む. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 要素が2個,\ 3個の部分集合がそれぞれ\ \kumiawase{4}{2}=6個,\ \kumiawase{4}{3}=4個あると計算でわかるからである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さらに,\ \bm{要素の個数がn個の集合の部分集合は全部で2^n\,個}あることも学ぶ. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 本問は全部で2^4=16個の部分集合があるはずであり,\ これを確認して完了する.