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実数全体の集合を全体集合とし,\ 部分集合$A,\ B$を$A=\{x\,|\,1<x<5\},$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$B=\{x\,|\,x\leqq2,\ 6\leqq x\}$とするとき,\ 次の集合を求めよ. \\[1zh] {不等式で表される実数の集合}
xは整数ではなく実数なので,\ A=\{2,\ 3,\ 4\}\ などとしないように注意する. \\[.2zh] 1文字の無限集合を図式化する場合,\ ベン図ではなく\bm{数直線を用いる}ことになる. \\[.2zh] 等号を含む点では黒丸かつ垂直の立ち上げ,\ 含まない点では白丸かつ斜めの立ち上げとする. \\[1zh] (1),\ (2)\ \ 実数全体が全体集合なので,\ A以外,\ B以外の区間をすべて答えることになる. \\[.2zh] \phantom{(1),\ (2)}\ \ \bm{等号の有無が逆転する}ことに注意する. \\[1zh] (4)\ \ AまたはBは,\ AとB全部である. \\[1zh] (7),\ (8)\ \ \bm{ド・モルガンの法則}を利用すると,\ それぞれ(4),\ (3)の補集合である. \\[.2zh] \phantom{(1),\ (2)}\ \ もちろん,\ (1)かつ(2),\ (1)または(2)と考えてもよい.
}実数全体の集合を全体集合とする.\ 次の部分集合$A,\ B$について$A\subset B$となるような$k$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}の値の範囲を求めよ
A\subset Bは,\ \bm{AがBの部分集合}であることを意味する. \\[.2zh] 要はAがBに完全に含まれる(一致も可)ということであり,\ 図のようになる条件を求めればよい. \\[.2zh] このとき,\ \bm{等号を含むか否かを慎重に判断する}必要がある. \\[.2zh] わかりにくいならば,\ =として条件を満たすかどうかを考えてみればよい. \\[1zh] (1)\ \ k-3=2\ (k=5)のとき,\ A=\{2\leqq x\leqq5\},\ B=\{2\leqq x<6\}\ より,\ 条件を満たす. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 5=k+1\ (k=4)のとき,\ A=\{2\leqq x\leqq5\},\ B=\{1\leqq x<5\}\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ Aに含まれるx=5がBには含まれない(Bからはみ出ている)から,\ 条件を満たさない. \\[1zh] (2)\ \ k-3=2\ (k=5)のとき,\ A=\{2<x<5\},\ B=\{2\leqq x<6\}\ より,\ 条件を満たす. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 5=k+1\ (k=4)のとき,\ A=\{2<x<5\},\ B=\{1\leqq x<5\}\ より,\ 条件を満たす. \