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}$x,\ y,\ zを実数とする.$\ \ \fbox{  }\ に次のいずれかを入れよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} \nagamaru1\ 「必要十分条件である」 \\[.2zh] \hspace{.5zw} \nagamaru2\ 「必要条件であるが十分条件ではない」 \\[.2zh] \hspace{.5zw} \nagamaru3\ 「十分条件であるが必要条件ではない」 \\[.2zh] \hspace{.5zw} \nagamaru4\ 「必要条件でも十分条件でもない」 \\\\
\hspace{.5zw} (1)\ \ $xz=yz\ は,\ x=y\ であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $xz>yzは,\ x>yであるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $x+y=0は,\ xy=0であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ $x^2+y^2=0は,\ xy=0であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (5)\ \ $x>1かつy>1は,\ x+y>2かつxy>1であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (6)\ \ $x>yは,\ x^2>y^2\,であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (7)\ \ $x>yは,\ x^3>y^3\,であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (8)\ \ $x^2>y^2\,は,\ x^4>y^4\,であるための\ \fbox{  }$ \\
(1)\ \ xz=yz\ \Longleftrightarrow\ (x-y)z=0\ \Longleftrightarrow\ x-y=0\ または\ z=0\ \Longleftrightarrow\ x=y\ または\ z=0 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \Longrightarrow の反例:x=1,\ y=2,\ z=0 \\[1zh] (2)\ \ \Longrightarrow の反例:x=1,\ y=2,\ z=-\,1  \Longleftarrow の反例:x=2,\ y=1,\ z=-\,1 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 負数を両辺に掛けたり割ったりすると不等号の向きが変わるのは言うまでもない. \\[1zh] (3)\ \ \Longrightarrow の反例:x=1,\ y=-\,1  \Longleftarrow の反例:x=1,\ y=0 \\[1zh] (4)\ \ x^2+y^2=0\ \Longleftrightarrow\ x=0\ かつ\ y=0  xy=0\ \Longleftrightarrow\ x=0\ または\ y=0 \\[1zh] (5)\ \ 2つの不等式の両辺を足したり掛けたりしてよいことは次のように示される. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ a>b,\ c>dのとき a>bの両辺にcを足すと a+c>b+c\ \ \cdots\maru1 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \phantom{a>b,\ c>dのとき} c>dの両辺にbを足すと b+c>b+d\ \ \cdots\maru2 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \phantom{a>b,\ c>dのとき} \,\maru1,\ \maru2より a+c>b+c>b+d   よって a+c>b+d \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ a>b>0,\ c>d>0のとき a>bの両辺にcを掛けると ac>bc\ \ \cdots\maru3 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \phantom{a>b>0,\ c>d>0のとき} c>dの両辺にbを掛けると bc>bd\ \ \cdots\maru4 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \phantom{a>b>0,\ c>d>0のとき} \,\maru3,\ \maru4より ac>bc>bd   よって ac>bd \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \Longleftarrow の反例:x=3,\ y=\bunsuu12 \\[1.6zh] \phantom{(1)}\ \ 2変数不等式の命題は,\ 領域で図形的に考えるのも有効である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x>1かつy>1は斜線部分,\ x+y>2かつxy>1は色塗り部分,\ 赤点を反例とした.