中点の軌跡② 円の弦の中点の軌跡

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円$(x-2)^2+y^2=4$と直線$y=m(x-6)$が異なる2点A,\ Bで交わるとき,\ 線分ABの 中点の軌跡を求めよ. \\ 円の弦の中点の軌跡}   $(x-2)^2+y^2=4\ と\ y=m(x-6)\ からyを消去して整理すると$ $(m^2+1)x^2-4(3m^2+1)x+36m^2=0} ・・・・・・\,①$}   円と直線が異なる2点A,\ Bで交わる条件は,\ ①の判別式を$D$とすると \{解と係数の関係}より  基本的な流れは,\ 前項の放物線の中点の軌跡と同様である. よって,\ 以下の解説は,\ 前項の内容が理解できていることを前提としている. まず,\ 図形的な位置関係を確認する. y=m(x-6)はmの値によらず(x,\ y)=(6,\ 0)を代入すると成り立つ. よって,\ 定点(6,\ 0)を通る傾きmの直線}である. ゆえに,\ 求めるのは点(6,\ 0)を通る直線の傾きを変化させたときの円の弦の中点が描く図形}である. 最初に,\ 円と直線が異なる2点で交わる条件}を確認する. 円と直線の位置関係は,\ 「判別式」または「点と直線の距離の公式」でとらえることができる. ここでは,\ 前項の放物線の中点の軌跡にならい,\ 判別式でとらえる}解法を示した. すると,\ 後に解と係数の関係を利用}できる. 交点の座標(①の解)を普通に求めると,\ 式が恐ろしく煩雑になる. よって,\ 一旦交点のx座標を文字でおいて中点の座標を表す}ことを考える. 解と係数の関係}を利用すると,\ 中点のx座標を素早くmで表すことができる.  ax^2+bx+c=0の2解を\,α,\ β\,とすると α+β=- ba,\ \ αβ= ca 求める軌跡は,\ ③と④から媒介変数mを消去して導かれる\dot{図}\dot{形}\dot{上}\dot{に}\dot{あ}\dot{る}.} x=6を③に代入すると,\ 6(m^2+1)=2(3m^2+1)より6=2となり矛盾する. よって,\ y=m(x-6)をmについて解くことができる. m=y}{x-6}\,は,\ ③の分母をはらってm^2\,で整理した⑥に代入すると後が楽になる. さらに,\ 媒介変数mの範囲をxの範囲に変換する.} \,のとりうる値の範囲を求めると考える. 分数式は,\ (分子の次数)<(分母の次数)と変形するのが基本}であった(分子の次数下げ}). 分母と分子の次数が等しい場合,\ 分母と同じ形を無理矢理分子に作る}と素早く分子を次数下げできる. \\ この変形により,\ 分母と分子に散らばっている変数tを分母の1ヶ所に集められる}わけである. 後は,\ tの範囲から徐々にxの範囲に変換していく. 各辺に負数を掛けたり,\ 各辺の逆数をとったりする}と不等号の向きが逆転することに注意する. 幾何的解法}\,]   円$(x-2)^2+y^2=4$の中心をC,\ 点$(6,\ 0)$をDとする.   また,\ 線分ABの中点をPとする.   円の中心から弦に下ろした垂線の足は弦の中点と一致}するから,\   よって,\ 点Pは常に\ $∠ CPD=90°$\ を満たすように動く.   ゆえに,\ 点Pは線分CDを直径とする円上にある}.   これは, 中心(4,\ 0),\ 半径2の円である.   $P=C}$}のときも条件を満たすから,\ 求める軌跡は 常に∠CPD}=90°\,より,\ 2定点を見込む角が常に90° となる点の軌跡}を考えることになる. これは,\ 2定点を直径とする円(2定点は除く)}となるのであった. 円の直径に対する円周角が常に90° であることの逆}である. CP⊥ AB}のとき,\ 点 Pは線分CD}を直径とする円のうち,\ 点C,\ D}を除いた部分上にある. 円と直線が異なる2点で交わる範囲を考慮すると,\ 軌跡が円上のどの部分かがわかる.