絶対値付き関数の定積分②:区間の上端のみが動く

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絶対値付き関数の定積分は,\ まず絶対値をはずさなければ計算できない. このとき,\ 面積としてとらえておく}と後の思考がスムーズにいく. 絶対値は,\ 中身が0以上のときそのまま,\ 中身が0以下のとき-をつけてはずす. f(x)はxの関数だが,\ 定積分自体は積分変数がtなので,\ xは定数扱いでtの2次関数扱いとなる.} t^2-4t+3}\,は全体に絶対値がついており,\ 中身のy≦0の部分をt軸で折り返したグラフとなる. t^2-4t+3=(t-1)(t-3)=0より,\ y=t^2-4t+3はt軸とt=1,\ 3で共有点をもつ. 積分区間が0≦ t≦ xなので,\ 0≦ x≦1か1≦ x≦3か3≦ xかで面積の形が変わる.} よって,\ 3つに場合分けして求めることになる. [3]}の1≦ x≦3の面積は,\ 2次関数と直線の間の面積}である. よって,\ 16公式\ ∫{α}{β}(x-α)(x-β)\,dx=-16(β-α)^3\ を用いて求められる. f(x)はx≧0のすべての範囲で3次関数となるので,\ 微分して増減表を作成することになる. 0≦ x≦1,\ 1≦ x≦3,\ 3≦ xのときをまとめた増減表を作成すると一見してわかりやすい.