定積分の計算と性質, 偶関数・奇関数の定積分

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「不定積分を求めよ」とありますが、「定積分を求めよ」の誤りです。

関数$f(x)$の原始関数の1つを$F(x)$とするとき   $a$をこの定積分の下端,\ \ $b$を上端,\ \ $a≦ x≦ b$を積分区間という. 原始関数としてF(x)+Cを用いると [F(x)+C}{a}{b}=\{F(b)+C\}-\{F(a)+C\}=F(b)-F(a) 結局Cは消えるので,\ 最初からC=0として計算すれば済む. 定積分の性質 \ [4]\ \ }(右辺)=[F(x)}{a}{c}=F(c)-F(a) \ [4]\ \ }∫{a}{b}f(x)\,dxの値は,\ 区間a≦ x≦ bでy=f(x)\ (≧0)とx軸で挟まれた部分の面積}を表す. \ [4]\ \ }よって,\ [4]の図形的意味は右図のようになる. \ [4]\ \ }数式自体は,\ ,\ f(x)≧0でない場合にも成立する. {偶関数と奇関数の定積分   $n$を0以上の整数とする.   [1]\ \ 偶関数\ $x^{偶数$\ ($y}$軸対称)  奇関数\ $x^{奇数$\ (原点 積分区間が対称な定積分}では,\ 偶関数・奇関数を意識すると計算を大幅に簡略化できる. f(-\,x)=f(x)}を満たす関数f(x)を偶関数という. 図形的には-xのときのy座標f(-\,x)とxのときのy座標f(x)が等しい,\ 要はy軸対称}である. f(-\,x)=-\,f(x)}を満たす関数f(x)を奇関数という. 図形的には-xのときのy座標f(-\,x)とxのときのy座標f(x)の正負が逆,\,要は原点対称}である. 数II}の範囲の積分では,\ 偶数乗か奇数乗かが重要である. f(x)=x^{2n}\ (偶数乗)のとき,\ (-\,x)^{2n}=(-\,1)^{2n}x^{2n}=x^{2n}\ より,\ y軸対称である. f(x)=x^{2n-1}\ (奇数乗)のとき,\ (-\,x)^{2n-1}=(-\,1)^{2n-1}x^{2n-1}=-\,x^{2n-1}\ より,\ 原点対称である 数式での証明は以上だが,\ 図形的に理解しておくのがわかりやすく実戦的である. [1]}\ \ y軸対称}の場合,\ -\,a≦ x≦ aの面積は0≦ x≦ aの面積を2倍}すれば済む. [2]}\ \ x軸より下の部分の面積は,\ 定積分計算すると負の値として出てくる. [2]}\ \ よって,\ 原点対称}ならば,\ -\,a≦ x≦0の面積と0≦ x≦ aの面積が打ち消し合って0になる.} (1)\ \ 普通に計算しようとすると本解の方法になる. \ \ F(x)=23x^3-52x^2+8xとしてF(5)-F(1)を計算するものである. \ \ 初学者は括弧内を先に計算しがちだが,\ 分母が同じ分数同士で計算していく}と楽になる. \ \ どうせ分母が同じ分数を先に計算するならば,\ 最初から別解のように計算するのがよい. と考えて計算することに等しい. (2)\ \ 定積分では,\ 積分変数によらず最終的な答えは同じになる. (3)\ \ 積分区間が等しい定積分は,\ 定積分の性質を用いて合体してから計算する.} \ \ ∫{a}{b}\{kf(x)-lg(x)\}\,dx=k∫{a}{b}f(x)\,dx-l∫{a}{b}g(x)\,dxを逆向きに変形するわけである. \ \ 不定積分とは違い,\ 積分区間が等しい場合にのみ合体できる}ことに注意する. (4)\ \ 関数が等しく,\ かつ積分区間がつながる定積分は合体してから計算する.} ∫{a}{b}+∫{b}{c}=∫{a}{c} (5)\ \ 関数が等しいので合体できないかを考える. \ \ そのままでは無理だが,\ -∫{b}{a}=∫{a}{b}を用いることで合体できる. \ \ ∫{a}{b}+∫{b}{c}=∫{a}{c}\ は,\ a