数学の答案において、「美しく図示できるか」はその人の数学的能力を如実に表す。ここでいう「美しい」とは、丁寧で綺麗ということではない。「数学的に必要なことは全て描いてあり、不必要なことは描いていない」ということである。問題の数学的本質を見抜き、素早く正確に描こうとすると自然と美しい図となるはずなのである。

数学が苦手な人は直線のグラフを描けない

数学が苦手な人の図には、次のような共通点が見受けられる。

  • 小さく描きすぎて追加情報が書き込めない。
  • 最低限の数学的に重要なポイントが認識できていないため、本質的に図が違う。
  • 無駄な情報が多すぎて、何が大事なのかがわからない。
  • 綺麗に描くことばかり意識して、1つの図示に時間をかけすぎる。
  • 矛盾が生じていることに気付いていながら、無理矢理突き進もうとする。

もう少し具体的に見てみよう。次は、数学が苦手な人と数学が得意な人の直線のグラフの比較である。

comparison

はっきり言って、左のグラフでは直線が描けているうちには入らない。「直線の図示くらいできる」と自分で思いこんでいるだけなのである。また、結果だけからはわからないが、苦手な人は左のグラフを1分くらいかけて描く。得意な人は右のグラフを10秒ほどで仕上げる。たかが直線の図示でこれだけの差がついてしまっているのである。


正しい描き方を知る

最も大事なことは、これらの問題点はいずれも注意さえしていれば防げる可能があるという点である。図の正しい描き方は、本来中学生の時に身につけておくべき技術である。しかし、学校では踏み込んで習うことはなく、試験でも間違いにされることはないので悪い癖がついたまま気にもとめない高校生が大勢いるのが現実である。

普段描く図が教科書と同じにならない人は、まず正しい描き方を知るところから始めなければならない。数学が得意な人が、普段どんな点に注意しながらどんな手順で図示しているかを知り、それを真似る。図が数学的に美しくなければ、気付くべきことに気付けなかったり、最悪自ら間違った道に足を踏み入れる羽目になったりする。図を描く時のルールを知り、普段からそれを意識して描く練習をしておかなければならない。


グラフの図示の一般的な手順とポイント

数学的に美しいグラフを図示するための手順とポイントを確認する。これらを常に意識して図示するようにしていれば、自然と美しい図が書けるようになる。

注意すべきは、問題ごとに「数学的に必要なのは何か」は多少変化することである。例えば、面積を求める積分の問題ならば、交点や上下関係がわかれば頂点や極値は必要ないことが多い。場合によっては、特定部分を大げさにして強調することも大事である。問題で問われていることの本質に気付いているかが問われる。

basic-graph


2次関数の図示のポイント

直線の場合は2点をとることが本質であったわけだが、2次関数の場合はどうだろうか。例で確認して欲しい。

quadric


複数の関数を同時に図示するときと領域を図示するときのポイント

複数の関数を同一平面上に図示するときのポイントと領域を図示するときのポイントを次の例で確認しよう。

region


円に内接する三角形の図示のポイント

円に内接する三角形の図示のポイントを示す。特に、角度が三角比で与えられた場合の注意点を確認しておこう。

circle-triangle


鉛筆と消しゴムだけで綺麗な線や円を描く裏技

試験時間に使用できるのは、通常鉛筆(シャーペン)と消しゴムだけである。この2つだけでできるだけ綺麗な図を描くことを考える。

本質の確認

図は素早く正確に描くことが大事である。綺麗に描くことにとらわれすぎて無駄な時間を費やしてしまっては本末転倒である。最低限の数学的に必要な美しさがあれば、それ以上の綺麗さは基本的に必要ない。実際、純粋なフリーハンドの図で困ったことは一度もない。それを踏まえた上で綺麗な図の描き方を確認しておこう。

綺麗な直線と角度は消しゴムを活用する

大きい新品の消しゴムを2個常備しておくとよい。あらかじめ縦・横・高さの長さを測っておくと実質定規になる。また、2個の消しゴムを組み合わせることで、完璧な直角を作成できる。さらに、1:1:√2の直角三角形ができるような点を取ることで(直角に等しい長さの点をとればよい)、45°も作成できる。30°や60°を正確に描くのは難しい。45°となる点をとって、それを3等分するくらいが時間対効果を考えると実用的ではないだろうか。

綺麗な円を描く裏技

2本の鉛筆を箸のように持って固定し、支点となる1本を中心に紙のほうを回転させると、綺麗な円を描くことが出来る。紙を持ったほうの腕を出来る限り支点の腕と交差させた状態から開始するのがコツである。また、支点を強く抑えすぎて紙が破れないよう注意する。

下は、自分が2本の鉛筆と2個の消しゴムだけで描いた図であるが、どうだろうか。ちなみに、所要時間は40秒ほどだった。

circle