log_3243$ & (2)\ \ $\log_71$ & (3)\ \ $\log_{0.2}0.008$ & (4)\ \ $\log_{12}32$ & (5)\ \ $\log_{4}√{1}{64$
(6)\ \ $\log_{√3}19$ & (7)\ \ $\log_{5}0.04$ & (8)\ \ $\log_{8}4$ & (9)\ \ $\log_{27}√{3}$ & (10)\ \ $\log_{0.2}5√5$
対数$\log_aM}$の値 \\
$対数の定義は,\ a>0,\ a≠1,\ M>0のとき\ a^{p=M\ ⇔\ p=\log_aM\ であった.$
$よって,\ \log_aMの値pは,\ 底aを何乗すると真数Mになるかを考えると求まる.$
$指数計算の場合と同様,\ 頻出の累乗を暗記しておくと素早く解答できる.$
(1)\ \ 底が3なので,\ 243が3の何乗かを考えると3^5=243に気付く.
(2)\ \ 底が何であれ0乗すると1}になる.\ \log_71=17\,とする間違い}が多いので注意してほしい.
(3)\ \ (0.2)^3=0.008に気付きたい.\ 最悪,\ 小数を分数で表せばよい. \log_{2}{108}{1000}=\log_{15}1}{125}=3
(4)\ \ 32は12^{5}=1}{32}\,の逆数なので,\ -\,乗}すればよい.\ \ a^{-r}=1}{a^r\,であった.
(5)\ \ 4^3=64の利用が速い.\ √{1}{64=18\ としてしまうと面倒になる.\ また,\ √[n]{a^m}=a^{ mn\,であった.\
(4)}\ \ 逆数が-乗,\ √{ }が\,12\,乗なので,\ 結局-32\,乗となる.
(6)\ \ (√3\,)^2=3より,\ \{(√3\,)^2\}^2=(√3\,)^4=9である.
(7)\ \ 5を何乗すると0.04になるかをこのままの形で考えるのは無理がある.\ 真数を分数に直せばよい.
(8)\ \ 底が素数でない場合,\ 何乗かを考えることが難しい場合が多い.
\ \ 底の変換公式\ \log_ab=\log_cb}{\log_ca\ により,\ 底を素数に変換する.}
\ \ 本問は8と4があるので2にする.\ 自分の好きな底に変換できるので極めて有用な公式である.
(9)\ \ 底を3に変換する.
(10)\ \ 底を分数に直して考える.\ \ 5√5=5^1･5^{12}=5^{1+12}=5^{32}\ である.
次の値を求めよ.
(1)\ \ $3^{\log_35}$ (2)\ \ $8^{\log_25}$ (3)\ \ $5^{1}{\log_25$ (4)\ \ $1}{√2}^{\log_25}{3$
対数の定義の別表現$a^{\log_aM}=M}$ \\
対数の定義は $a>0,\ a≠1,\ M>0のとき a^p=M\ ⇔\ p=\log_aM$
$a^p=Mのpをp=\log_aM に置き換える}$と $a^{\log_aM}=M$}
対数の定義を書き換えただけの関係式で認知度も低いが,\ 意外に使用頻度は高い.
(1)\ \ もろにa^{\log_aM}=Mなので瞬殺できる.\ a^{\log_aM}=Mを知らない場合用の解答も示す(別解).
\ \ 一旦文字Aでおき,\ 両辺の対数をとる.\ そして,\ Aを求めることを目指す.
\ \ 本問に限らず,\ 指数が鬱陶しい場合,\ 一旦対数をとって考える}のが定石である.
\ \ 対数の性質\log_aM^r=r\log_aM}を用いて鬱陶しい指数を前に出せるからである.
\ \ 指数の\log_35を前に出せ,\ \log_33=1より,\ \log_35=\log_3Aとなる.\ つまり,\ A=5である.
(2)\ \ a^{\log_aM}=Mを利用するためにはaをそろえる必要がある.\ 8=2^3\,と考えればよい.
\ \ \log_aM^r=r\log_aMを利用して3を移動することでa^{\log_aM}\,の形になる.
\ \ 別解1の場合も同様にして3を移動することで\log_2○=\log_2Aの形になる.
\ \ 別解2は裏技公式\ a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\ (aとcが交換できる)}\ を利用するものである.
(3)\ \ a^{\log_aM}=Mを利用するため,\ 底の変換公式\ \log_ab=\log_cb}{\log_ca\ で底を5に変換する.
\ \ \log_ab=1}{\log_ba\ を公式として覚えていると時間短縮できる(別解).
(4)\ \ a^{\log_aM}=Mを利用する本解とa^{\log_bc}=c^{\log_ba}\,を利用する別解を示した.
