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次の数を$a\ruizyoukon b$の形に変形せよ.\ ただし,\ 根号の中はできる限り小さい整数にする.平方根の計算 乗法と除法
まず,\ \bm{根号の中の数を素因数分解する.} \\[.2zh] \ruizyoukon{a^2}=a\ であるから,\ \bm{根号の中に同じ素因数が2個あれば,\ 1個にして根号の外に出せる.} \\[.2zh] かなり丁寧に記述してみたが,\ これらの基本計算は瞬時にできるようになるまで慣れてほしい. \\[.2zh] 計算演習を繰り返し,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \cdots\ のような平方数を素早く分離できるようになると楽になる. \\[1zh] (1)\ \ 12を見て4\times3だから2\ruizyoukon3\ だとすぐに変換できるのが理想である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 12=2\times6と分解しても意味がない.\ 平方数4を分離すると根号の外に出せる. \\[1zh] (2)\ \ 27=3^3\ とすぐに変換できるのが理想である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 8=2^3\ や\ 125=5^3\ のような変換を直ちにできるかは,\ 経験をどれだけ積んでいるかで決まる. \\[1zh] (3)\ \ 98を見て49\times2だから7\ruizyoukon2\ だとすぐに変換できるのが理想である. \\[1zh] (4)\ \ 180を見て36\times5だから6\ruizyoukon5\ だとすぐに変換できるのが理想である. \\[1zh] (5)\ \ 125=5^3\ とすぐに変換できるのが理想である.\ \ また,\ 81=9^2\ にも気付きたい(別解). \\[1zh] (6)\ \ 小数は一旦分数に直す.\ \ 54=9\times6と100=10^2\ に気付けば速い. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 別解のように最初に約分してしまうと,\ 最後に有理化(後述)する必要が生じてしまう.
(1)\ \ 根号どうしのかけ算は,\ 1つの根号内にまとめるのが基本である. \\[1zh] (2)\ \ \bm{根号内の平方数は根号の外に出して最終的な答えとしなければならない.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 別解のように先に1つにまとめると,\ 後で90を素因数分解する羽目になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問は先に分解するのがよい(本解).\ \ \ruizyoukon3\,が2個できることを見越して計算したわけである. \\[1zh] (3)\ \ 別解のように\,\ruizyoukon{48}\ の根号内を先に簡単にしてしまうと後で有理化(後述)する羽目になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本解のように,\ 先に1つの根号にまとめて約分してしまうのがよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \ruizyoukon{48}\div\ruizyoukon6=8\ のように根号まで消してしまうのが\bm{よくある誤り}である.
(6)\ \ 根号の部分とそれ以外を別々に計算するとよい.
分母の有理化
分母に根号を含む数を分母に根号を含まない形に変形することを\bm{\textcolor{blue}{分母の有理化}}という. \\[.2zh] \bm{分母に\,\ruizyoukon a\,があるとき,\ 分母と分子の両方に\,\ruizyoukon a\ をかける}と,\ (\ruizyoukon a)^2=a\ より分母がaになる. \\[.2zh] 分母だけにかけると元の数と大きさが変わってしまうので,\ 必ず分母と分子の両方にかける. \\[.2zh] 中学では原則として分母に根号がある場合は必ず有理化する. \\[1zh] (3)\ \ 分母分子にかけるのは\,\ruizyoukon2\ だけである.\ 5をかける必要はない. \\[1zh] (4)\ \ 根号内の平方数は,\ 有理化する前に根号の外に出しておくほうが後が楽になる.
{平方根の計算 加法と減法
\bm{足し算と引き算は根号内sの数が同じ場合しかできない.} \\[.2zh] 文字式において同類項をまとめる場合と同様の計算規則が成立する.
次が\bm{よくある誤り}である.\ 絶対にやらないように注意してほしい.
(2)\ \ 有理化したり,\ 平方数を根号の外に出したりすると,\ 根号内が同じ数になって計算できる.