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2次方程式(因数分解の利用)}}}} \\\\[.5zh] 一般に,\ 次数が高くなるほどその方程式を解くことが難しくなる. \\[.2zh] 次数が高い方程式を解く1つの方法として,\ 次数が低い方程式に分解する方法がある. \\[.2zh] 2次方程式ならば,\ \textbf{\textcolor{red}{1次方程式に分解して解く}}ことができる. \\\\
例として,\ 2次方程式$\bm{\textcolor{blue}{x^2-3x+2=0}}$を解いてみる. \\[.2zh] まず,\ 左辺を\
ここで,\ 次の事実を利用する.
これは次のようにも言い換えられる. AとBの積が0であることは,\ AとBの少なくとも一方が0であることに等しい.}}$} \\[.5zh] 「$A=0$\ \ かつ\ \ $B=0$」ではないことに注意してほしい. \\[.2zh] $A$だけが0でもよいし,\ $B$だけが0でもよいし,\ $AとB$両方が0でもよいということである. \\[1zh] 分解後の1次方程式をそれぞれ解くと
因数分解さえしてしまえば,\ 1次方程式に分解することができる. \\[.2zh] よって,\ 因数分解できるかどうかが問われていると言っても過言ではない. \\[1zh] 因数分解公式 \bm{x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)} \\[.2zh] \bm{x^2+2ax+a^2=(x+a)^2} \\[.2zh] \bm{x^2-2ax+a^2=(x-a)^2} \\[.2zh] \bm{x^2-a^2=(x+a)(x-a)} \\\\
(1)\ \ x^2+○x+△の形の式は,\ 公式x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\ を用いて因数分解できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x^2-5x+6であるから,\ ab=6,\ a+b=-\,5になる整数の組a,\ bを特定すればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ かけて6になる整数の組は,\ (1,\ 6),\ (-\,1,\ -\,6),\ (2,\ 3),\ (-\,2,\ -\,3) \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このうち足して-\,5になる組は(-\,2,\ -\,3)であるから,\ (x-2)(x-3)と因数分解できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 「x-2=0\ \ または\ \ x-3=0」となるが,\ この記述は必要ないのですぐに答えればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ 「x=2\ \ または\ \ x=3」と答えてもよいが,\ x=2,\ 3と簡潔に答えるのが普通である. \\[1zh] (2)\ \ かけて-\,6になる整数の組は,\ (1,\ -\,6),\ (-\,1,\ 6),\ (2,\ -\,3),\ (-\,2,\ 3) \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このうち足して5になる組は(-\,1,\ 6)である. \\[1zh] (3)\ \ 因数分解の最も基本的なことは共通因数をくくり出すことである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x(x+3)=0より,\ 「x=0\ \ または\ \ x+3=0」となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x(x+3)=(x-0)(x+3)\ ともみなすこともできる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x^2+3x=0の両辺をxで割って,\ x+3=0よりx=-\,3とするのがよくある\bm{誤り}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一般に,\ 0で割ることは許されず,\ 本問では文字xが0ではないという保証はどこにもない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x=0の可能性を否定できない以上,\ xで両辺を割ることは許されず,\ 因数分解することになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実際,\ x=0も解の1つになる. \\[1zh] (4)\ \ 16=4^2,\ 8=4\times2より,\ 公式\ x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\ を用いて因数分解できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (x+4)^2=(x+4)(x+4)のことであるから,\ 結局x+4=0のみとなる. \\[1zh] (5)\ \ x^2-9=x^2-3^2\ であるから,\ 公式\ x^2-a^2=(x+a)(x-a)\ を用いて因数分解できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x=-\,3,\ 3と答えてもよいし,\ x=\pm\,3と答えてもよい. \\[1zh] (6)\ \ 「AB=0\ \Longleftrightarrow\ A=0\ または\ B=0」を利用するには,\ 必ず=0の形でなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ まず=0になるように変形(20xを移項)する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さらに両辺を2で割ると,\ x^2\,の係数が1となって因数分解できるようになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ かけて-24,\ 足して-10になる整数の組は,\ 2と-12である.
(1)\ \ 一旦展開し,\ x^2+○x+△=0の形にまで整理する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x^2\,の係数が-のまま解くこともできるが,\ 今後のことを考えると好ましくない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 先を見すえるならば,\ x^2\,の係数を正にしてから解く癖をつけておきたい. \\[1zh] (2)\ \ \bm{係数が小数の場合,\ 10や100を両辺に書けて係数を整数にしてから因数分解する.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問では,\ さらに両辺を3で割ってx^2\,の係数を1にする必要がある. \\[1zh] (3)\ \ \bm{係数が分数の場合,\ 分母の最小公倍数を両辺にかけて係数を整数にしてから因数分解する.}
一旦展開しても解けるが,\ \bm{共通部分に着目し,\ それを1つの文字に置き換える}と楽になる. \\[.2zh] Xの2次方程式になるので,\ Xのまま因数分解して解を求め,\ 最後に元に戻す.