kainokousiki@2x

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2次方程式の解の公式}}}} \\\\[.5zh] 前ページでは,\ 無理矢理$(x-p)^2=q$の形にして2次方程式を解く方法を学習した. \\[.2zh] この方法には,\ 複雑な2次方程式になるほど計算が面倒になるという弱点がある. \\[.2zh] 一般化した2次方程式$ax^2+bx+c=0$を同様の手法で解くと,\ 公式を作成できる.
まず,\ x^2\,の係数が1になるように両辺をaで割る. \\[.2zh] xの係数\,\bunsuu ba\,の半分の\,\bunsuu{b}{2a}\,の2乗を両辺に加えると,\ 左辺が因数分解できる. \\[.6zh] 右辺を整理した後に2乗をはずし,\ さらに\,\bunsuu{b}{2a}\,を移項する. \\[.6zh] こうして,\ 2次方程式の解の公式が導かれる. \\[.2zh] 万能公式であり,\ いかなる2次方程式もこの公式を適用することで確実に解を求められる. \\[.2zh] 公式を導くことはできなくてもよいが,\ 公式の暗記は必須である.

解の公式は万能ではあるが,\ むやみやたらと使いまくればいいというものではない. \\[.2zh] \bm{因数分解が可能な2次方程式ならば,\ 因数分解を利用する解法を優先すべきである.} \\[.2zh] 普通は因数分解を利用する解法のほうが簡潔になるからである. \\[.2zh] 因数分解できない2次方程式を解くときに,\ 仕方なく解の公式を用いるわけである. \\[.2zh] よって,\ 2次方程式を見かけたときは,\ まず因数分解できるか否かを素早く判断する必要が生じる. \\[1zh] (1)\ \ かけて-1,\ 足して-3になる整数の組は存在しないから,\ この2次方程式は因数分解できない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 2次方程式\ ax^2+bx+c=0\ の解の公式\ x=\bunsuu{-\,b\pm\ruizyoukon{b^2-4ac}}{2a}\ を適用する. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ a=1,\ b=-\,3,\ c=-\,1\ を公式に代入すればよい.\ b=3,\ c=1としないように注意. \\[1zh] (2)\ \ 因数分解できないので解の公式を使う.\ 最後,\ \bm{約分}するのを忘れてはならない. \\[1zh] (3)\ \ 因数分解するにしても解の公式を使うにしても,\ まずは=0の形にする必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 因数分解できないので解の公式を使うことになるが,\ 小数のまま代入すると後が大変である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ あらかじめ両辺を10倍し,\ 係数を整数にしてから代入する. \\[1zh] (4)\ \ 係数が分数では因数分解できない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 解の公式を使うにしても,\ 分数のまま代入すると後が大変である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ どちらにしても,\ あらかじめ両辺を6倍し,\ 係数を整数にすることになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 因数分解できないので,\ 解の公式を使用する. \\[1zh] (5)\ \ 本当は因数分解できるのだが,\ 中学生はx^2\,の係数が1でなければ因数分解できない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ そこで,\ 解の公式を使うことになる.\ 121=11^2\ は気付きにくいので経験が必要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ うまく根号がはずせるので,\ 簡単にしてから最終的な答えとする.
さて,\ 上の(2)では,\ 最後に分母分子を2で約分することができた. \\[.2zh] 実は,\ これはたまたまではない.\ $x$の係数が偶数のときは必ず最後に2で約分できる. \\[.2zh] しかし,\ 公式適用後に約分するのは面倒であり,\ 回りくどい. \\[.2zh] そこで,\ $x$の係数が偶数の場合の約分済みの公式を作成する. \\\\
偶数(2の倍数)は2\times(整数)であるから,\ 整数をb’として2b’と表すことができる. \\[.2zh] 結局,\ \bm{元々の解の公式のbを2b’に変えることで,\ xの係数が偶数の場合の公式を得られる.} \\[1zh] この第二の公式は\bm{発展的な内容}であり,\ 中学生が知っていなければならないというものではない. \\[.2zh] 「どうせ元の公式でも求められるのだから,\ 第二の公式を覚えるのは面倒だ」と思う人もいるだろう. \\[.2zh] しかし,\ 高校で登場するより複雑な2次方程式では,\ 第二の公式が使えるか否かが大きな差になる. \\[.2zh] できれば中学生のときからこの公式に慣れ親しんでおくことが望ましい.
いずれもxの係数が偶数であるから第二の公式を適用できる. \\[.2zh] b=2b’よりb’=\bunsuu b2\,であること,\ つまり\bm{b’はbの半分であることに注意して公式に代入する.} \\[.6zh] (1)ではb’=2,\ \ (2)ではb’=-\,3,\ \ (3)ではb’=-\,2\ である.
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